ترجمه‌های کامران بزرگزاد
خلاصه‌ای از بخش‌های کتاب
داستان ریاضیات آنگونه که از زبان معادلات گفته می‌شود
دانا مک‌کنزی
چرتکه‌کاران در مقابل الگوریتم‌کاران
چرا ما به علم حساب اعتقاد داریم؟
از پارادوکس‌های زنون تا ایده بی‌نهایت
قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال
سیب‌ها، افسانه‌ها... و ستارگانِ دنباله‌دار
قَسم به آن اعداد اول که به آنها اعتماد داریم
از تاثیر یک سیگارِ بَد، تا رسیدن به کلیسای وست‌مینستر
توجه: به دلیل کامل نبودن این فایل، ممکن است برخی از لینک‌های کار نکنند.
این کتاب درباره تاریخچه معادلات ریاضی است، و سیر تحول معادلات مهم را از هزاره دوم پیش از میلاد تا قرن بیست و یکم دنبال می‌کند. اساساً معادلات ریاضی بیان کننده پدیده‌های جهان واقعی به زبان ریاضیات هستند، و از این رو عنوان کتاب بر پدیده‌هایی دلالت دارد که این معادلات آنها را مدل‌سازی می‌کنند. کتاب به چهار بخش و 24 فصل تقسیم شده. در بخش اول، با عنوان معادلات در دوران باستان کتاب به معادلاتی می‌پردازد که از 3500 سال پیش تا دوران رونسانس مطرح بوده‌اند. در بخش دوم با عنوان معادلات در عصر اکتشافات، به معادلاتی پرداخته می‌شود که پس از دوران رونسانس ابداع شدند. در بخش سوم با عنوان معادلات در عصر انقلاب صنعتی، کتاب به معادلاتی می‌پردازد که در دوران حسابان و پس از آن مطرح شدند. و نهایتاً در بخش پایانی کتاب با عنوان معادلات در دوران معاصر، به معادلات مهمی پرداخته می‌شود که از اوایل قرن بیستم تا به امروز مطرح بوده‌اند.
این کتاب می‌تواند مورد استفاده علاقه‌مندان به ریاضیات، تاریخچه آن، و کسانی که به تاریخ علم علاقه دارند قرار گیرد. هرچند در این کتاب مباحثی مطرح می‌شود که برای درک کامل آنها نیاز به دانستن اندکی حسابان است، ولی بیشتر مطالب کتاب می‌تواند با دانشی در حد ریاضیات دبیرستانی به خوبی درک شود.
درباره نویسندهدانا مکنزی (Dana Mackenzie) متولد ۱۹۵۸، ریاضیدان، نویسندهٔ علمی، و مروج برجستهٔ علم اهل ایالات متحدهٔ آمریکا است. او پس از سال‌ها فعالیت دانشگاهی، به نویسندگی علمی روی آورد، و با نگارش کتاب‌ها و مقاله‌های فراوان، مفاهیم پیچیدهٔ ریاضیات را برای عموم خوانندگان قابل فهم ساخت.
او در سال ۱۹۸۳ دکترای ریاضیات خودش از دانشگاه پرینستون را اخذ کرد. مکنزی پس از پایان تحصیلات، در دانشگاه‌های مختلف به تدریس ریاضیات پرداخت: ۶ سال در دانشگاه دوک. ۷ سال عضو هیئت علمی کالج کنیون (Kenyon College) در ایالت اوهایو بود. با وجود موفقیت در محیط دانشگاهی، او تصمیم گرفت مسیر حرفهای خود را تغییر دهد و وارد عرصهٔ روزنامه‌نگاری و نویسندگی علمی شود.
او همچنین در اوایل دهه 1990 قهرمان ملی شطرنج آمریکا بود.
تابستان 1405
کامران بزرگزاد ایمانی
من امیدوارم در این کتاب پرده از رمز و رازی که ریاضیات و معادلات آن را احاطه کرده بردارم تا علاقه‌مندان بتوانند ببینند که چه چیزهایی در پشت آن نهفته است.
پیش از هر چیز اجازه دهید به طور خلاصه به برخی سوالاتی بپردازم که به چند اصطلاح ریاضی مربوط هستند. در ریاضیات از کلماتی مانند «معادله» (equation)، «فرمول» (formula) و «اتحاد» (identity)، زیاد استفاده می‌شوند، ولی معانی آنها کمی متفاوت است. «فرمول‌ها» کمی کاربردی‌تر هستند، زیرا شما از یک فرمول برای حل یک معادله استفاده می‌کنید. «اتحاد‌ها» تا حدی عمق کمتری دارند و مفهوم آنها چیزی است که صرفاً می‌توان آن را با دستکاری علامت‌ها اثبات کرد. با این حال، برای اهداف این کتاب، من قصد ندارم بر چنین تمایزاتی اصرار کنم.
همچنین در این کتاب بارها با کلماتی مانند «اصلِ موضوعه» (axiom)، «قضیه» (theorem)، «فرضیه» (hypothesis) و «حدس» (conjecture) مواجه خواهید شد. یک اصلِ موضوعه، گزاره‌ای است که ریاضیدانان آن را به عنوان یک حقیقت اثبات نشده، درست فرض می‌کنند. آنها می‌توانند این کار را انجام دهند، زیرا واقعاً معتقدند که آنها یک حقیقت عام هستند، یا ممکن است آن را فقط به عنوان یک نقطه شروع مناسب در نظر بگیرند.
قضیه معیار طلاییِ حقیقتِ ریاضی است؛ یک قضیه گزاره‌ای (statement) است که به طور صوری از یک سیستم اصلِ موضوعی خاص استنباط شده باشد. این قضیه در برابر خطای تجربی، یا یک طرز فکر خاص قرار نمی‌گیرد... البته ممکن است خودِ سیستم اصل موضوعی از مُد بیفتد. زیرا در ریاضیات دگرگونی‌هایی رخ می‌دهند. ولی دلیل این دگرگونی‌ها معمولاً این نیست که قضایا نادرست هستند، بلکه به این دلیل رخ می‌دهند که فرضیاتی که قضایا بر اساس آنها بنا شده‌اند، بیش از حد محدودکننده، بیش از حد سست، و بیش از حد غیردقیق هستند، یا به اندازه کافی نزدیک به واقعیت نیستند.
فرضیه یا حدس (این کلمات مترادف هستند) یک گزاره ریاضی است که هنوز اثبات نشده، اما شواهد قابل توجهی در پشتیبانی از آن وجود دارد. شواهد ممکن است از قضایای مشابه‌ای که ضعیف‌تر هستند، مشاهدات تجربی، یا آزمایش‌های کامپیوتری ناشی شده باشند. با این وجود، در ریاضیات هرگز نمی‌توان یک واقعیت را با شواهد تجربی، احتمالات، یا آزمون‌های آماری اثبات کرد. این یک تفاوت اساسی است که ریاضیات را از علوم تجربی از جمله فیزیک، زیست‌شناسی، و شیمی متمایز می‌کند.
انتخاب معادلات لزوماً به سلیقه و ترجیح فردی بستگی داشت. برخی از معادلات تقریباً ضروری هستند، مانند معادله E=mc2 انیشتین، که احتمالاً مشهورترین معادله است. معادلات دیگر، مانند فرضیه پیوستار، به جز افراد متخصص، برای بقیه ناآشنا خواهند بود. در زیر برخی از معیارهایی را آورده‌ام که برای تصمیم‌گیری در مورد اینکه چه چیزی باعث می‌شود یک معادله عالی باشد، از آنها استفاده کرده‌ام.
1. شگفت‌انگیز باشد. یک معادله‌ی عالی چیزی را به ما می‌گوید که نمی‌دانستیم. تبدیل یک کمیت به کمیتی دیگر که در ابتدا کاملاً متفاوت به نظر می‌رسد، اما هر مرحله را می‌توان توضیح داد و توجیه کرد. این می‌تواند شبیه کارِ یک کیمیاگر به نظر برسد. تنها جادوی ذهن انسان است که می‌تواند چنین ارتباطاتی را کشف کند.
2. مختصر و مفید باشد. یک معادله‌ی عالی، زیبایی ظریفی دارد که در خوشنویسی زبان ژاپنی هست، یعنی چیزی جز ضروریات در آن نباشد، و چیز ساده و پرقدرتی را بگوید.
3. نتایج مهمی را در برداشته باشد. من چند معادله را که به نظرم مهم هستند، کنار گذاشتم. ریاضیات آن زیبا و الهام‌بخش باشند - اما اینها در نهایت فقط برای تعداد کمی از متخصصان اهمیت دارند. معادلاتی که عمیق‌ترین تأثیر را می‌گذارند، آنهایی هستند که ریاضیات را متحول می‌کنند، دیدگاه ما را نسبت به جهان تغییر می‌دهند یا امکانات مادی زندگی ما را تغییر می‌دهند.
4. عام باشد. یکی از جذابیت‌های بزرگ ریاضی این است که یک معادله ثابت شده، برای همیشه درست خواهد ماند. این موضوع تابع سبک و سلیقه نیست، در سراسر جهان یکسان است و نمی‌توان آن را سانسور کرد یا استثنایی برای آن قائل شد.
برخی از معادلاتی که در اینجا ارائه شده‌اند قضایای ریاضی نیستند، بلکه «قوانین» یا نظریه‌های فیزیکی هستند، مثل معادلات ماکسول. نظریه‌های فیزیکی عموماً با استقراء از داده‌ها یا «روش علمی» تأیید می‌شوند، نه با استنتاج از مجموعه‌ای از اصول. برخلاف قضایای ریاضی، آنها مشمول شواهد تجربی و آزمایش‌های آماری هستند، و گاهی اوقات، وقتی آزمایش‌های حساس‌تری از راه می‌رسند، نقص‌های آنها ثابت می‌شود.
واقعیت این است که ریاضیات دو چهره دارد. اول اینکه خودش شامل مجموعه‌ای از دانش‌ها است؛ و دو اینکه زبانی برای بیان دانش در مورد جهان است. اگر به معادلات صرفاً به عنوان وسیله‌ای برای انتقال اطلاعات علمی نگاه کنید، راهی که ریاضیات می‌تواند با آن موانع ذهنی ما را از میان بردارد، از دست داده‌اید. اگر به معادلات فقط به عنوان قطعاتِ انتزاعی خُرد نگاه کنید، هدایت ظریفی را که طبیعت برای پرسیدن سئوالاتِ «درست» به ما می‌دهد، از دست می‌دهید.
زمانی لئوپولد کرونکر (Leopold Kronecker)، ریاضیدان آلمانی قرن نوزدهم، گفته بود: «خداوند اعداد صحیح را آفرید؛ بقیه چیزها کار انسان است». اگرچه کاملاً مشخص نیست که چگونه باید شوخ‌طبعی او را به معنای واقعی کلمه برداشت کرد، اما از نظر تاریخی او تنها کسی نیست که برای ریاضیات یک منشأ الهی قائل است. در بین‌النهرین باستان، این موهبتی بود که از سوی نیسابا (Nisaba)، یا همان الهه حامی کاتبان، عطا شده بود. در هزاره دومِ پیش از میلاد، کاتبی نوشت: «نیسابا ، زنِ درخشان از شادی، یک زن واقعی، کاتب، و بانویی که همه چیز را می‌داند، انگشتان شما را روی گل هدایت می‌کند. نیسابا سخاوتمندانه میله اندازه‌گیری، خطِ نقشه بردار، معیار و لوح‌هایی که به شما حکمت می‌بخشند را عطا کرد.» در لوح‌های ریاضی بابلی، جواب یک مسئله تا زمانی که حل‌کننده در پایان بنویسد: « نیسابا را ستایش کنید!»، هرگز کامل نبود.
طبق گفته چینی‌های باستان، فوشی، اولین امپراتور افسانه‌ای چین، بنیانگذار ریاضیات بود. او اغلب در حالی که یک مربع نجاری را در دست دارد به تصویر کشیده می‌شود. لیو هوی (Liu Hui)، ریاضیدان قرن سوم ، نوشت: «فو شی در دوران باستان برای بیان فضایل خدایان هشت سه‌خطی (trigram) را خلق کرد.» علاوه بر این، او می‌گوید، فوشی «روشِ نُه-نُه را برای هماهنگی تغییرات در شش‌خطی‌ها (hexagrams) اختراع کرد.» «سه‌خطی‌ها» و «شش‌خطی‌ها» واحدهای اساسی خوشنویسی چینی هستند. بنابراین، به طور کلی، فوشی به عنوان مخترع خط شناخته می‌شود، در حالی که « الگوریتم نُه-نُه» به معنای جدول ضرب است. بنابراین، ریاضیات نه تنها یک الهام الهی بود، بلکه همزمان با زبانِ نوشتاری اختراع شد.
در این روایت‌ها، ما می‌توانیم سه شاخه متمایز از ریاضیات را تشخیص دهیم که در طول قرن‌ها تا به امروز، به وفور جریان داشته‌اند. شاخه اول جبر و حساب، یا علم کمیت‌ها است؛ شاخه دوم هندسه، یا همان علم اشکال است؛ و شاخه سوم ریاضیات کاربردی است، یعنی علم تبدیل ریاضیات به راه‌حل‌هایی برای مسائل ملموس مهندسی، فیزیک، و اقتصاد.
ولی یک شاخه چهارم نیز داریم که سرچشمه آن در موارد بالا آشکار نیست، و عبارت است از علمِ بی‌نهایت‌ها، یا تحلیل کمیت‌های بی‌نهایت بزرگ و بی‌نهایت کوچک، که برای درک هر فرآیندِ حرکتی، یا تغییرات پیوسته ضروری هستند. ریاضیدانان این شاخه از ریاضیات را «آنالیز» (analysis) می‌نامند، حتی اگر بقیه دانشمندان این کلمه را به معنای کاملاً متفاوتی تفسیر کنند (آنالیز=تحلیل).
بنابراین، من چهار شاخه اصلی ریاضیات را جبر، هندسه، ریاضیات کاربردی، و آنالیز می‌دانم. هر چهار شاخه به طرز شگفت‌انگیزی با هم در می‌آمیزند و همکاری می‌کنند، و مشاهده این تعامل یکی از لذت‌های بزرگ ریاضیدان بودن است. در میان این شاخه‌ها، تقریباً تمام ریاضیدانان به یکی از آنها بیشتر علاقه دارند، اما زیبایی و قدرت این موضوع بدون شک از هر چهار شاخه ناشی می‌شود. به همین دلیل، هر چهار فصل این کتاب دارای یک موضوع یا «خط روایی» هستند که در سراسر آن جریان دارد و مربوط به تکامل این چهار شاخه در طول اعصار است.
روزی فیزیکدان آمریکایی برنده جایزه نوبل، ریچارد فاینمن (Richard Feynman)، در ریودوژانیرو در رستوران مورد علاقه‌اش مشغول خوردن شام بود. در واقع هنوز وقت شام نبود، بنابراین سالن غذاخوری خلوت بود ... تا اینکه یک فروشنده چرتکه وارد شد. پیشخدمت‌ها که احتمالاً علاقه‌ای به خرید چرتکه نداشتند، از فروشنده خواستند که ثابت کند می‌تواند محاسبات را سریع‌تر از مشتری مشهور آنها انجام دهد. فاینمن هم که آنجا حضور داشت، این چالش را پذیرفت.
رقابت در ابتدا حتی نزدیک هم نبود. فاینمن درباره آن روز نوشت ”در مسائل جمع، فروشنده چرتکه مرا کاملاً شکست داد“. او قبل از اینکه حتی فاینمن نوشتن اعداد را تمام کند، جواب را پیدا می‌کرد. اما بعد فروشنده شروع به مغرور شدن کرد. او فاینمن را به مسائل ضرب دعوت کرد. فاینمن باز هم به چرتکه باخت، اما نه به اندازه قبل. فروشنده که از اختلاف کم پیروزی خود راضی نبود، فاینمن را به مسائل سخت‌تر و سخت‌تری دعوت کرد و بیشتر و بیشتر دستپاچه شد. بالاخره فروشنده برگ برنده خود را رو کرد، و گفت: بیایید «پیدا کردن ریشه سوم» را امتحان کنیم.
بدیهی است که در این مرحله، رقابت بیشتر بر سر غرور بود تا فروش چرتکه. تصور اینکه چرا یک مدیر یک رستوران اصلاً نیاز به محاسبه ریشه سوم داشته باشد، دشوار است. اما فاینمن موافقت کرد، به شرطی که پیشخدمت‌ها، که مسابقه را تماشا می‌کردند و از آن بی‌نهایت لذت می‌بردند، یک عدد را انتخاب کنند. عددی که آنها انتخاب کردند 1729.03 بود.
فروشنده چرتکه با شور و اشتیاق شروع به کار کرد، روی چرتکه خم شده بود و انگشتانش آنقدر سریع پرواز می‌کردند که چشم نمی‌توانست آنها را دنبال کند. ولی فاینمن فقط آنجا نشسته بود. پیشخدمت‌ها از او پرسیدند که چه کار می‌کند، و او به سرش زد و گفت: «فکر می‌کنم!» ظرف چند ثانیه، فاینمن پنج رقم از جواب را نوشت (12.002). پس از مدتی، فروشنده چرتکه پیروزمندانه اعلام کرد « 12!» و سپس چند دقیقه بعد گفت « 12.0!» در این زمان، فاینمن چندین رقم دیگر به جواب خود اضافه کرده بود. پیشخدمت‌ها به فروشنده خندیدند و او که از قدرت تفکر ناب شکست خورده بود، با تحقیر آنجا را ترک کرد.
مثل همه داستان‌های خوب، مبارزه فاینمن با آن چرتکه‌انداز معانی زیادی دارد. در بی‌مایه‌ترین سطح، این داستانی درباره نبوغ است؛ یک برنده جایزه نوبل که یک ماشین را شکست می‌دهد. با این حال، قصد فاینمن هنگام تعریف این داستان درباره خودش کاملاً متفاوت بود. او مردِ متکبری نبود. نکته داستان در متن کتاب او این بود که مردم عادی (کسانی که نه برنده جایزه نوبل هستند و نه نابغه)، با داشتن کمی درک از اعداد و دانش ریاضی، می‌توانند دقیقاً همان کاری را که او انجام داد انجام دهند. دو راز در پشت شاهکار به ظاهر جادویی او وجود داشت. اول اینکه او باید می‌دانست که عدد 1728 یک مکعب کامل است: 123=1728 (شاید این یک دانش عمومی نباشد، اما چیزی است که اکثر فیزیکدانان از آن آگاه هستند، زیرا یک فوت مکعب 123 یا 1728 اینچ مکعب است.) و او همچنین باید یک معادله معروف حسابان، به نام فرمول تیلور را می‌دانست، که یک روش تقریبی بسیار کلی است که به شما امکان می‌دهد از معادله دقیق زیر:
به تقریب زیر برسید
معادلات
عاملِ حیاتی ریاضیات و علوم هستند. آنها قلم‌موهایی هستند که ریاضیدانان برای خلق
هنرِ خود، یا نوعی رمزِ مخفی برای بیان ایده‌های خود در مورد جهان هستی، از آنها
استفاده می‌کنند. این بدان معنا نیست که معادلات تنها ابزاری هستند که ریاضیدانان
از آنها استفاده می‌کنند؛ کلمات و نمودارها نیز مهم هستند. با این وجود، وقتی کار
به جای مهمی می‌رسد (مثلاً وقتی که باید ریشه سوم عدد 1729.03
را محاسبه کنند)
معادلات اطلاعات را با چنان صرفه‌جویی و دقتی منتقل می‌کنند
که کلمات یا چرتکه هرگز نمی‌توانند با آن برابری کنند.
بقیه افرادی که خارج از جهان علم هستند به زبان معادلات صحبت نمی‌کنند، و بنابراین شکاف فرهنگی وسیعی بین کسانی که آنها را می‌فهمند و کسانی که نمی‌فهمند، پدید آمده. این کتاب تلاشی برای ایجاد پلی بر فراز این شکاف است. این کتاب برای خواننده‌ای در نظر گرفته شده است که می‌خواهد ریاضیات را به زبان خودش بفهمد و می‌خواهد ریاضیات را به عنوان یک هنر تحسین کند. مطمئناً ما سعی نمی‌کنیم بدون نگاه کردن به نقاشی‌های رامبراند یا ون گوگ، در مورد آثار آنها بحث کنیم. پس چرا باید بدون نمایش «نقاشی‌های» ایزاک نیوتن یا آلبرت انیشتین در مورد آنها صحبت کنیم؟ در فصل‌های بعدی سعی می‌کنیم با کلمات (حتی اگر این کلمات ضعیف و نادرست باشند) توضیح دهیم که این معادلات به چه معناست و چرا کسانی که آنها را می‌شناسند، به حق آنها را گرامی می‌دارند.
حالا برگردیم به ریچارد فاینمن و آن فروشنده چرتکه، چون حرفهای بیشتری درباره آنها برای گفتن وجود دارد. به احتمال زیاد، هیچ‌کدام از آنها نمی‌دانستند که در حال اجرای صحنه‌ای هستند که قرن‌ها پیش، زمانی که اعدادِ هندی-عربی برای اولین بار به اروپا رسیدند، اجرا شده بود.
وقتی در اوایل قرن سیزدهم، سیستم جدید اعداد پدیدار شد، بسیاری از مردم به شدت نسبت به آن بدگمان بودند. آنها مجبور بودند نُه نماد جدید و ناآشنا را یاد بگیرند: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, و 9، یا به عبارت دقیق‌تر، مجبور بودند نسخه‌های تا حدودی تحریف‌شده قرنِ سیزدهمی آن را یاد بگیرند. نمادهای جدید برخلاف حروفِ رومی زیبا و محکمی که به آنها عادت داشتند (مانند I، V، X و غیره)، برای برخی از مردم مانند خطوط عجیب به نظر می‌رسیدند. بدتر از همه، آن علائم حتی رومی هم نبودند، بلکه عربی بودند، که باعث می‌شد برای یک جامعه عمیقاً مذهبی، حتی بیشتر مشکوک به نظر برسند. و در نهایت، آنها شامل یک چیز جدید بودند که درک آن به ویژه دشوار بود. آن چیز جدید عدد صفر بود، که هیچ معنایی نداشت.
با این وجود، اعداد عربی یک قدرت غیرقابل انکار داشتند. برخلاف اعداد رومی که برای نوشتن اعداد خوب بودند، ولی محاسبه با آنها بسیار دشوار بود، سیستم اعشاری جدید با دارا بودن ارزش مکانی، انجام هر دو کار را ممکن ساخت. به یک معنا، اعداد عربی ریاضیات را برای همه عمومی کردند. در بسیاری از جوامع باستانی، فقط یک طبقه کاتبِ آموزش دیدهِ خاص می‌توانستند حساب را انجام دهند. ولی نمادگذاری اعشاری عربی، به یک آموزش ویژه یا ابزار خاص نیاز نداشت، فقط یک مغز می‌خواست و یک قلم.
مبارزه بین سیستم‌های عددی قدیمی و جدید برای مدت بسیار طولانی - بیش از دو قرن - ادامه یافت، و در واقع، مسابقات آزاد بین چرتکه‌کاران (افرادی که از ابزارهای مکانیکی مانند چرتکه برای انجام حساب استفاده می‌کردند) و الگوریتم‌کاران (افرادی که از روشهای الگوریتمی جدید استفاده می‌کردند) برگزار می‌شد. بنابراین، باردیگر فاینمن و فروشنده چرتکه در حال مبارزه در یک نبرد بسیار قدیمی بودند!
ما می‌دانیم که این نبرد چگونه پایان یافت. امروزه، همه در جوامع غربی از اعداد اعشاری استفاده می‌کنند. دانش‌آموزان دبستانی الگوریتم‌های جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را یاد می‌گیرند. بنابراین واضح است که الگوریتم‌کاران پیروز شدند. اما داستان فاینمن نشان می‌دهد که ممکن است دلایل این پیروزی به آن سادگی که فکر می‌کنید نباشد. در برخی مسائل، بدون شک چرتکه‌کاران سریع‌تر بودند. به یاد داشته باشید که فروشنده چرتکه در جمع «او را کاملاً شکست داد». اما سیستم اعشاری بینش عمیق‌تری نسبت به یک دستگاه مکانیکی در مورد اعداد ارائه می‌دهد. بنابراین هرچه مسئله سخت‌تر باشد، روشهای الگوریتمی بهتر عمل خواهد کرد. با پیشرفت علم در دوران رنسانس، ریاضیدانان نیاز به انجام محاسباتِ پیچیده‌تری نسبت به ریشه سوم داشتند. بنابراین، الگوریتم‌کاران به دو دلیل برنده شدند: یکی اینکه در سطوح بالا، سیستم اعشاری با ریاضیاتِ پیشرفته سازگارتر بود؛ در حالی که سیستم اعشاری در سطوح پایین، به همه این قدرت را می‌داد تا بتوانند محاسبات را انجام دهند.
اما قبل از اینکه بیش از حد به سیستم «برتر» عددی خود مغرور شویم، این داستان چندین درس عبرت‌آموز به ما ارائه می‌دهد. اول، پیامی است که برای اکثر مردم به هیچ وجه آشکار نیست: روشهای مختلفی برای انجام ریاضیات وجود دارد. روشی که در مدرسه آموخته‌اید تنها یکی از این روشهای بی‌شمار است. به خصوص وقتی تاریخ ریاضیات را مطالعه می‌کنیم، متوجه می‌شویم که تمدن‌های دیگر از نمادگذاری‌های متفاوتی استفاده می‌کردند و سبک استدلال آنها با ما متفاوت بود و این سبک‌ها اغلب برای آن جامعه بسیار منطقی بودند. نباید فرض کنیم که آنها «پست‌تر» هستند. یک فروشنده چرتکه هنوز هم می‌تواند یک برنده جایزه نوبل را در جمع و ضرب شکست دهد.
داستان فاینمن همچنین نمونه‌ای از چگونگی برخورد فرهنگ‌های ریاضی در گذشته است. اغلب این برخورد فرهنگ‌ها به نفع هر دو طرف بوده است. برای مثال، اعراب این نوع از اعداد، و همچنین ایده صفر، را خودشان اختراع نکردند، بلکه آنها را از هندی‌ها وام گرفتند.
در نهایت، باید بپذیریم که پیروزی الگوریتم‌کاران ممکن است موقتی باشد. در عصر حاضر، ما یک دستگاه محاسباتی جدید داریم که کامپیوتر نامیده می‌شود. هر معلم ریاضی می‌تواند نشانه‌هایی را ببیند که حسِ عددی دانش‌آموزان ما، یعنی میراثی که الگوریتم‌کاران برای ما به ارث گذاشته‌اند، در حال فرسایش است. دانش‌آموزانِ امروز، اعداد را به خوبی گذشته درک نمی‌کنند. آنها به کارائی کامپیوترها متکی هستند و نمی‌توانند پاسخ‌های آنها را بررسی کنند تا در صورت اشتباه وارد کردن اعداد، از جواب دست مطمئن باشند. ما دوباره خود را در رقابت بین دو الگو می‌یابیم و به هیچ وجه مشخص نیست که این نبرد چگونه به پایان خواهد رسید. شاید مانند دوران باستان، جامعه ما تصمیم بگیرد که فرد عادی نیازی به درکِ اعداد ندارد و می‌توانیم این دانش را به یک طبقه نخبه واگذار کنیم. در این صورت، نسبت به امروز، پُل میان علم و ریاضیاتِ عالی برای افراد بسیار بیشتری بسته خواهد شد.
در جهان امروز، ریاضیات موضوعی است که به طرز چشمگیری یک‌شکل است. همچنین در هر کشوری از جهان، از اروپا گرفته تا آسیا، آفریقا و آمریکا، معادلاتی مانند a2+b2=c2 ، آشنا به نظر می‌رسند و به خوبی درک می‌شوند.
اما همیشه اینطور نبوده. با نگاهی به تاریخ ریاضیات، به ویژه در دوران باستان، تنوع زیادی در سبک‌ها و دلایلِ انجامِ ریاضیات می‌بینیم. در این دوره، ریاضیات به تدریج از خاستگاه‌های خود در نقشه‌برداری، جمع‌آوری مالیات، ساختمان‌سازی، و نجوم تکامل یافت و به موضوعی متمایز تبدیل شد. در مصر و بین‌النهرین، حساب و هندسه صرفاً بخشی از آموزش عمومی کاتبان بودند. از پاپیروس‌ها و خطوط میخی، تا لوح‌هایی که باقی مانده‌اند، به نظر می‌رسد که ریاضیات به صورت مجموعه‌ای از قوانین، به صورت طوطی‌وار و بدون توضیح آموزش داده می‌شد.
از سوی دیگر، در یونان باستان، محاسبه طوطی‌وار بین‌النهرینی در مقابل تفکر فلسفی جایگاه پایین‌تری داشت. فیلسوفان یونانی، که از فیثاغورث و افلاطون شروع می‌شدند، دیدگاه والایی نسبت به ریاضیات داشتند و آن را علمی مبتنی بر عقلِ ناب می‌دانستند که می‌تواند به ورای ظاهرِ وهم‌آلود جهان فیزیکی نفوذ کند. در کتاب اصول اقلیدس (Elements)، کُلِ هندسه از فهرست بسیار کوتاهی از حقایق (به اصطلاح) بدیهی که اصول موضوعه (axioms) نامیده می‌شوند استنتاج می‌شود. این سبک از استدلال قیاسی، ریاضیات مدرن را به وجود آورد و حتی تأثیر خود را بر سایر تلاش‌های انسانی گسترش داد. (نمونه آن کلمات آغازین اعلامیه استقلال آمریکا است، که در آن نویسنده این علامیه، توماس جفرسون، به شیوه‌ای کاملاً اقلیدسی، اصول موضوعه‌ای را مطرح می‌کرد که یک جامعه جدید بر اساس آنها بنا خواهد می‌شود. او می‌گفت «ما این حقایق را بدیهی می‌دانیم...»).
در هند برای قرن‌ها ریاضیات یا گانیتا (ganita)، به معنای محاسبه، پیرو نجوم بود، و تنها در حدود قرن نهم و دهم میلادی به جایگاه مستقل خود رسید. با این وجود، چندین کشف مهم از هند سرچشمه گرفت - که مهمترین آنها سیستم اعداد اعشاری است که امروزه از آن استفاده می‌کنیم. در چین، سرنوشت ریاضیات، یا سوان شو (هنر اعداد)، در طول قرن‌ها کم و زیاد شد. در دوران سلسله تانگ (۶۱۸ تا ۹۰۷ میلادی) ریاضیات موضوعی معتبر بود که همه محققان باید آن را مطالعه می‌کردند؛ از سوی دیگر، در دوران سلسله مینگ (۱۳۶۸ تا ۱۶۴۴) این موضوع در دسته شیائوکسوئه (چیزهایی با اهمیت کمتر) قرار می‌گرفت! این تغییر نگرش ممکن است به این موضوع مربوط باشد که چرا ریاضیات چینی - که قبلاً از ریاضیاتِ اروپایی برتر بود - پس از دهه ۱۳۰۰ میلادی، دقیقاً همان دوره‌ای که ریاضیات غربی شروع به اوج گرفتن کرد، دچار رکود شد.
در نهایت، جهان اسلام به عنوان وارث دو سنت متمایز (یونانی و هندی) و انتقال‌دهنده‌ی آن سنت‌ها به اروپای غربی - که با اکتشافات جدید ریاضیدانان اسلامی تقویت شده بود - جایگاه منحصر به فردی در تاریخ ریاضیات داشت. تنها در اروپای غربی بود که گذار قطعی به ریاضیات مدرن به طرز عجیبی رخ داد... اما اینها موضوع بحثِ بعدی ما هستند.
1 به علاوه‌ی 1 می‌شود 2: شاید این ابتدایی‌ترین فرمول باشد. زیرا ساده، ابدی، غیرقابل انکار است... اما چه کسی اولین بار آن را نوشت؟ این و سایر معادلات حساب از کجا آمده‌اند؟ و چگونه می‌دانیم که آنها درست هستند؟ پاسخ به این سئوال‌ها کاملاً روشن نیستند.
یکی از شگفتی‌های ریاضیات باستان این است که شواهد زیادی از بحث جمع وجود ندارد. لوح‌های گلی بابلی و پاپیروس‌های مصری پیدا شده‌اند که پر از جداول ضرب و تقسیم هستند، اما هیچ جدول جمعی وجود ندارد که شامل « 1+1=2» باشد. ظاهراً جمع آنقدر روشن بوده که نیازی به توضیح ندارد، در حالی که ضرب و تقسیم اینطور نیستند. یکی از دلایل آن ممکن است سیستم‌های نمادگذاری ساده باشند که بسیاری از فرهنگ‌ها از آن استفاده می‌کردند. به عنوان مثال، در مصر، عددی مانند 324 با سه نمادِ "صد"، دو نمادِ «ده» و چهار نمادِ «یک» نوشته می‌شد. برای جمع کردن دو عدد، تمام نمادهای آنها را به هم متصل می‌کردند و در صورت لزوم ده تا «یک» را با یک «ده» جایگزین می‌کردید و به همین ترتیب ادامه می‌دادند. این کار بسیار شبیه جمع‌آوری پول خرد و جایگزینی گاه به گاه اسکناس‌های کوچکتر با اسکناس‌های بزرگ‌تر بود. هیچ کس نیازی به حفظ کردن این عبارت 1+1=2 نداشت، زیرا مجموع | و |، به طور واضحی || بود.
در چین باستان، محاسبات ریاضی روی یک «تخته شمارش» انجام می‌شد، که نوعی چرتکه ابتدایی بود که در آن از میله‌هایی برای شمارش یکان، دهگان، صدگان و غیره استفاده می‌شد. باز هم، جمع یک مسئله‌ی سرراست بود که تعداد مناسبی از میله‌ها را کنار هم قرار می‌دادند و در صورت لزوم به ستون بعدی منتقل می‌کردند. نیازی به حفظ کردن نبود. ولی جدول ضرب ("الگوریتم نُه-نُه") داستان متفاوتی بود. این یک ابزار مهم بود، زیرا ضرب 8 در 9 که برابر 72 است سریع‌تر از 9 بار جمع کردن 8 به خودش بود.
یکی دیگر از تفاوت‌های بسیار مهم در نمادگذاری این است که هیچ یک از فرهنگ‌های باستانی (بابلی، مصری، چینی یا هر فرهنگ دیگری) دقیقاً آن درکی که ما حالا از «معادله» داریم را نداشتند. ایده‌های ریاضی به صورت جملاتِ کامل، با کلمات معمولی، یا گاهی اوقات به صورت دستورالعمل‌ها نوشته می‌شدند. بنابراین، گفتن اینکه بگوییم یک فرهنگ معادله خاصی را «می‌دانسته»، یا فرهنگ دیگری آن را نمی‌دانسته، خطرناک است. معادلات به شکلی که ما امروز می‌شناسیم، در طول بیش از هزار سال پدیدار شدند. حدود سال ۲۵۰ میلادی، دیوفانتوس اسکندرانی (Diophantus) شروع به استفاده از علائم تک حرفی برای جایگزینی کلمات متداول مانند «جمع»، «ضرب» و غیره کرد. ایده استفاده از حروفی مانند x و y برای نشان دادن مقادیر مجهول، خیلی دیرتر در اروپا، در حدود اواخر دهه ۱۵۰۰ میلادی، پدیدار شد. و تنها عنصری که امروزه تقریباً در هر معادله‌ای یافت می‌شود، یعنی علامت «مساوی =»، تا سال ۱۵۵۷ برای اولین بار ظاهر نشده بود. در کتابی به نام ”چاقوتیزکن“ نوشته‌ی رابرت رکورد (Robert Recorde)، نویسنده به شیوایی توضیح می‌دهد که « همانطور که من اغلب در کارهایم انجام می‌دهم، برای جلوگیری از تکرار خسته‌کننده‌ی کلماتی مانند "این مساوی است با"، من به جای آن یک جفت خط موازی با طول یکسان به شکل = قرار می‌دهم» توجه داشته باشید که علامت مساوی رکورد بسیار بلندتر از علامت مساوی ما بود.
بنابراین، اگرچه ریاضیدانان برای هزاران سال به طور ضمنی می‌دانستند که 1+1=2، ولی معادله واقعی آن احتمالاً تا قرن شانزدهم به صورت نمادگذاری امروزی نوشته نشده بود. و تا قرن نوزدهم، ریاضیدانان دلایل ما برای باور به این معادله را زیر سوال نبرده بودند.
در طول دهه ۱۸۰۰ میلادی، ریاضیدانان کم‌کم متوجه شدند که پیشینیان آنها بیش از حد به فرضیات پنهانی تکیه کرده بودند که توجیه آنها همیشه آسان نبود (و گاهی اوقات نادرست بودند). اولین رخنه در زرهِ ریاضیاتِ باستان، کشف هندسه‌های نااقلیدسی در اوایل دهه ۱۸۰۰ بود (که در فصول بعدی با جزئیات بیشتری در مورد آن توضیح خواهیم داد). حتی اگر اقلیدسِ کبیر نیز به خاطر مطرح کردن فرضیاتی که غیرقابل انکار نبودند، مقصر بود، پس چه بخشی از ریاضیات را می‌توان صحیح دانست؟
در اواخر دهه ۱۸۰۰، ریاضیدانانی مانند لئوپولد کرونکر، جوزپه پیانو، داوید هیلبرت، و برتراند راسل، که دیدگاه‌های فلسفی بیشتری داشتند، به بررسی بسیار جدی مبانی ریاضیات پرداختند. آنها از خود می‌پرسیدند که واقعاً در ریاضیات چه چیزی را می‌توانیم به طور قطع بدانیم؟ آیا می‌توانیم مجموعه‌ای اساسی از اصول موضوعه برای ریاضیات پیدا کنیم که بتوان ثابت کرد خودسازگار هستند؟
کرونکر، ریاضیدان آلمانی، معتقد بود که اعداد طبیعی، یعنی 1، 2، 3 و... خدادادی هستند. بنابراین، قوانین حساب، مانند معادله 1+1=2، به طور ضمنی قابل اعتماد هستند. اما اکثر منطق‌دانان مخالف بودند و مفهومِ اعداد صحیح را نسبت به مفهوم مجموعه‌ها کمتر بنیادی می‌دانستند. عبارت «یک به علاوه یک برابر است با دو» واقعاً به چه معناست؟ اساساً، به این معنی است که وقتی یک مجموعه، یا مجموعه‌ای متشکل از یک شیء با مجموعه متفاوتی متشکل از یک شیء دیگر ترکیب می‌شود، مجموعه حاصل همیشه دو شیء دارد. اما برای درک این موضوع، باید به دور کاملاً جدیدی از سؤالات پاسخ دهیم، مانند اینکه منظور ما از یک مجموعه چیست، چه چیزی در مورد آنها می‌دانیم و چرا...
کلید حساب: یک کتاب عربی نوشته غیاث‌الدین جمشید کاشانی، 1390-1450 میلادی.
در سال ۱۹۱۰، آلفرد نورث وایتهد (Alfred North Whitehead) و برتراند راسل (Bertrand Russell) یک اثر حجیمِ سه جلدی با عنوان «اصول ریاضیات» (Principia Mathematica) منتشر کردند که به احتمال زیاد اوج تلاش‌هایی بود برای بازطراحی علم حساب به عنوان شاخه‌ای از نظریه مجموعه‌ها. شما نمی‌خواهید این کتاب را به یک کودک هشت ساله بدهید تا توضیح دهد که چرا 1+1=2. پس از ۳۶۲ صفحه از جلد اول، وایتهد و راسل سرانجام به گزاره‌ای می‌رسند که از آن، مثلاً «وقتی جمع حسابی تعریف شود، نتیجه این می‌شود که 1+1=2.» توجه داشته باشید که آنها در واقع این کار را نکرده‌اند، و هنوز توضیح نداده‌اند که جمع چیست. آنها تا جلد دوم به آن نمی‌پردازند. قضیه‌ی واقعی « 1+1=2» تا صفحه‌ی ۸۶ کتاب دوم ظاهر نمی‌شود. آنها با طنزی ظریف خاطرنشان می‌کنند: «گزاره‌ی فوق گاهی اوقات مفید است.»
یک لوح گلی با خط میخی که جزئیات یک مسئله جبری-هندسی را بیان می‌کند،
حدود ۲۰۰۰ تا ۱۶۰۰ پیش از میلاد
در اینجا وایتهد و راسل قصد تمسخر ندارند، زیرا آنها از اولین کسانی بودند که با دشواری فراوانِ نظریه مجموعه‌ها دست و پنجه نرم کردند. برای مثال، راسل کشف کرد که عملیات خاصی در مجموعه‌ها مجاز نیستند؛ برای مثال، تعریف «مجموعه‌ای از همه مجموعه‌ها» غیرممکن است، زیرا این مفهوم منجر به تناقض می‌شود. تنها چیزی که هرگز در ریاضیات مجاز نیست، این است: یک گزاره هرگز نمی‌تواند هم درست و هم نادرست باشد.
اما این به سوال دیگری منجر می‌شود. راسل و وایتهد مراقب بودند که از پارادوکس «مجموعه همه مجموعه‌ها» اجتناب کنند، اما آیا می‌توانیم کاملاً مطمئن باشیم که اصول آنها ما را به تناقض دیگری که هنوز کشف نشده، سوق نخواهد داد؟ در سال ۱۹۳۱، زمانی که منطق‌دان آلمانی، کورت گودل (Kurt Gödel)، با اشاره مستقیم به کتاب وایتهد و راسل، مقاله‌ای با عنوان «درباره گزاره‌های رسماً غیرقابل حل اصول ریاضیات و موارد مرتبط» منتشر کرد، به طرز شگفت‌آوری به سوال فوق پاسخ داده شد.
«گودل ثابت کرد که هر قانونی برای نظریه مجموعه‌ها که به اندازه کافی قوی باشد تا قوانین حساب از آن استخراج شود، هرگز نمی‌تواند سازگار باشد. به عبارت دیگر، این احتمال وجود دارد که روزی کسی اثبات کاملاً معتبری ارائه دهد که مثلاً 1+1=3. نه تنها این، بلکه این امر برای همیشه ممکن خواهد ماند؛ تا زمانی که علم حساب را بر اساس نظریه مجموعه‌ها بنا کنیم، هرگز تضمین مطلقی وجود نخواهد داشت که این حساب سازگار باشد.
در واقع ریاضیدانان به خاطر احتمال ناسازگاری حساب، خوابشان را از دست نمی‌دهند. احتمالاً یکی از دلایل آن این است که اکثر ریاضیدانان یک حس قوی دارند که اعداد، و همچنین بسیاری از ساختارهای ریاضی دیگر که با آنها کار می‌کنیم، واقعیتی عینی دارند که فراتر از ذهنِ انسانی ماست. اگر چنین باشد، پس غیرقابل تصور است که بتوان اظهاراتی مانند 1+1=2 و 1+1=3 که در تناقض با یکدیگر هستند را اثبات کرد. منطق‌دانان این را دیدگاه «افلاطونی» می‌نامند.
«یک ریاضیدان معمولی یکشنبه‌ها یک ظاهرگرا، و در بقیه روزهای هفته یک افلاطون‌گرا است». به عبارت دیگر، وقتی آنها در تنگنا قرار می‌گیرند، باید بپذیرند که نمی‌توانند مطمئن باشند که ریاضیات عاری از تناقض است. اما اجازه نمی‌دهند که این موضوع آنها را از ادامه کار باز دارد. نکته دیگری که باید اضافه کنیم این است که دانشمندانی که ریاضیدان نیستند، هر روز هفته افلاطون‌گرا هستند، یعنی هرگز به ذهنشان خطور نمی‌کند که 1+1=2. و ممکن است حق داشته باشند. بهترین استدلال برای سازگاری حساب این است که حدود ۵۰۰۰ سال است که انسان‌ها این کار را انجام می‌دهند و ما هنوز در آن تناقضی را پیدا نکرده‌ایم. بهترین استدلال برای عینیت و جهانی بودن حساب این واقعیت است که نسبت به هر زبان، مذهب، یا سیستم اعتقادی دیگری، حساب با موفقیت بیشتری از فرهنگ‌ها و دوره‌ها عبور کرده. در واقع، دانشمندانی که به دنبال حیات فرازمینی هستند، اغلب فرض می‌کنند که اولین پیام‌هایی که می‌توانیم از جهان‌های بیگانه رمزگشایی کنیم، پیام‌هایی با محتوای ریاضی خواهند بود - زیرا ریاضیات جهانی‌ترین زبانِ موجود است. ما می‌دانیم که 1+1=2 (زیرا می‌توان آن را از اصول پذیرفته‌شده‌ی نظریه مجموعه‌ها اثبات کرد، یا به این دلیل که ما افلاطونی هستیم). اما نمی‌دانیم که آن را می‌دانیم (زیرا نمی‌توانیم ثابت کنیم که نظریه مجموعه‌ها سازگار است). این ممکن است بهترین پاسخی باشد که بتوانیم به یک کودک هشت ساله بدهیم که می پرسد چرا چنین است.
کتاب‌های زیادی در مورد مفهوم عدد صفر نوشته شده است. این عدد خیلی دیر به حساب وارد شد، شاید به این دلیل که تجسم مسافتی به طول صفر متر، یا تعداد صفر گوسفند، دشوار است. حتی امروز نیز اگر یک کتابِ حسابِ کودکان را بردارید، احتمالاً صفحه‌ای مختص به صفر پیدا نخواهید کرد.
عدد صفر دو تفسیر متفاوت دارد، که یکی از آنها بسیار پیچیده‌تر از دیگری است. اول، در اعدادی مانند 2009 یا ۹۰۲۱۰، صفر به عنوان نمادی برای نشان دادن یک جای خالی استفاده می‌شود. این عملکرد صفر د جایگاه‌های مختلف است. بدون گذاشتن صفر، ما نمی‌توانیم اعداد فوق را از عدد ۲۹ یا ۹۲۱ تشخیص دهیم. در یک سیستم ارزشِ مکانی، معنی «۲» به محل قرارگیری آن بستگی دارد؛ در عدد ۲۹ به معنای دو ده است، اما در عدد ۲۰۰۹ به معنای دو هزار است.
البته فرهنگ‌هایی که از سیستم ارزش مکانی استفاده نمی‌کردند، مانند مصر یا روم باستان، این مشکل را نداشتند و نیازی به یک نماد برای جای خالی نداشتند. عدد رومی MMIX (2009) به راحتی از XXIX(29) قابل تشخیص است. بنابراین جای تعجب نیست که مفهوم صفر در آن جوامع پدید نیامده است. با این حال، بابلی‌ها از سیستم اعدادِ ارزش مکانی استفاده می‌کردند، ولی برای قرن‌های متمادی به ذهنشان خطور نکرد که از علامتی برای نشان دادن جای خالی استفاده کنند. ظاهراً ابهام بین 2009 و 29 آنها را آزار نمی‌داد - شاید به این دلیل که معمولاً از متن مشخص است که کدام یک از آنها مد نظر است. حتی امروز هم همین موضوع صادق است. اگر کسی به شما بگوید چه سالی است، انتظار دارید عددی مانند ۲۰۰۹ را بگویید؛ ولی اگر بخواهد سن خود را بگوید، عدد ۲۹ معقول‌تر است[1].
تنها حدود ۴۰۰ سال پیش از میلاد، یعنی نزدیک به پایان موجودیت بابل، و حدود ۱۵۰۰ سال پس از اولین استفاده از سیستم اعداد میخی، کاتبان شروع به استفاده از دو گُوِه عمودی (^^) برای نشان دادن یک جای خالی کردند. این اولین ظهور یک نماد در تاریخ بود که به معنای صفر بود، اما واضح است که بابلی‌ها آن را فقط به عنوان یک جای خالی، و نه به عنوان یک عدد، در نظر می‌گرفتند.
مفهوم دوم، که ظریف‌تر است، یعنی صفر به عنوان یک موجودیت واقعی (همانطور که از معادله 1-1=0 استنباط می‌شود ) در هند پدید آمد. این مفهوم برای اولین بار در سال ۶۲۸ میلادی، در کتابی به نام رساله اصلاح‌شده برهما، نوشته برهماگوپتا (Brahmagupta)، ظاهر می‌شود.
همانند بسیاری از ریاضیدانان باستان، اطلاعات کمی در مورد زندگی برهماگوپتا در دسترس است. او در سال ۵۹۸ در شمال مرکزی هند متولد شد و عضو یک مکتب ریاضی (به معنای یک جامعهِ نه چندان منسجم از دانشمندان) در اوجین بود. او مدت کوتاهی پس از پایان سلسله‌ی گوپتا (حدود ۳۲۰ تا ۵۵۰) زندگی کرد، دوره‌ای از رونق، که اغلب عصر طلایی فرهنگ هند محسوب می‌شود، و بسیاری از ادبیات کلاسیک سانسکریت در آن دوره نوشته شد، و اخترشناسان پیش‌بینی‌های بسیار دقیقی از کسوف و خسوف و حرکات سیارات ارائه دادند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
برای بسیاری از دانش‌آموزان ریاضی،
اولین نامی که در درس ریاضی با آن مواجه می‌شوند، نام فیثاغورث (Pythagoras) است. قضیه فیثاغورث بیان می‌کند که در هر مثلث قائم‌الزاویه (یعنی مثلثی
که شامل یک زاویه قائمه است)، مجموع مربعات دو ضلع کوتاه‌تر (a و b)
برابر با مربع بزرگترین ضلع (c) است که وتر نامیده می‌شود. این
فرمول که قرن‌ها توسط دانش‌آموزان حفظ شده است، به صورت 
است.
قضیه فیثاغورث آنقدر مشهور است که اغلب در فرهنگ عامه نیز ظاهر شده است. در فیلم «جادوگر شهر اُز»، مترسک پس از اینکه جادوگر به او دیپلم می‌دهد، به طرز خاطره‌انگیزی قضیه را اشتباه می‌گوید می‌کند و فریاد می‌زند: «مجموع جذر هر دو ضلع یک مثلث متساوی‌الساقین برابر با جذر ضلع باقیمانده است. اوه!، من عقل دارم!» در فیلم موزیکال «دزدان دریایی پنزانس» اثر گیلبرت و سالیوان، وقتی ژنرال آواز می‌خواند که: «من هم با مسائل ریاضی خیلی خوب آشنا هستم... مثلاً با حقایق جالب زیادی در مورد مربعِ وتر...»، که نشان می‌دهد ریاضیات او کمی بهتر است.
فیثاغورث چه کسی بود و چه ارتباطی با قضیه‌ای که نام او را یدک می‌کشد، داشت؟ همانطور که مشخص است، پاسخ نسبتاً پیچیده است. به احتمال زیاد، فیثاغورث نه این قضیه را کشف کرد، و نه آن را اثبات نموده بود. مدت‌هاست که زمان آن رسیده که به این قضیه نام دقیق‌تری داده شود.
فیثاغورث
حدود سال ۵۶۹ پیش از میلاد، فیثاغورث در جزیره ساموس، در سواحل ایونیا (ترکیه امروزی) متولد شد. طبق افسانه‌ها، او سال‌ها در مصر و شاید بابل و شاید هم هند (وقتی شما یک اسطوره باشید، همه چیز ممکن است) به فراگیری حکمت گذشتگان پرداخت. پس از بازگشت به خانه، او برای همیشه به دولت-شهر ایتالیایی کروتون مهاجرت کرد. در آنجا او یک انجمن مخفی به نام فیثاغورثیان (Pythagoreans) را تأسیس کرد که برای مدتی بر زندگی فرهنگی و مدنی کروتون تسلط داشت.
در میان فرقه‌های مذهبی، فیثاغورثیان کمی عجیب و غریب بودند. فیثاغورث فضایل خویشتن‌داری، احترام به بزرگان، و آموزش را موعظه می‌کرد. او از تک‌همسری حمایت می‌کرد، که قطعاً برای جامعه‌ای که خدایانش زِناکارانِ پرشمار بودند، شوک‌آور بود. او مصرف گوشت حیوانات را ممنوع کرد، زیرا ممکن بود روح یک دوست یا نیاکان یک فرد در یک حیوان باشد. علاوه بر این، او خوردن لوبیا را ممنوع کرد، احتمالاً به این دلیل که روح انسان‌ها می‌توانست به این گیاهان نیز مهاجرت کند.
روی هم رفته، فیثاغورث را می‌توان به عنوان یک رهبر فرهمندِ نسبتاً معمولی در یک فرقه مرموز در نظر گرفت. اما آنچه حداقل فرقه فیثاغورثیان را برای یک مورخ علم متمایز می‌کند، نقش ادعایی آنها به عنوان بنیانگذاران سنت‌های یونانی ریاضیات و فلسفه است. فیثاغورث معتقد بود که همه چیز در جهان توسط اعداد اداره می‌شود.
فلسفه فیثاغورث شامل بخش زیادی از عددشناسی یا عرفانِ عددی بود که برخی از آنها از نظر امروزی خنده‌دار به نظر می‌رسد. به عنوان مثال، اعداد فرد مذکر، و اعداد زوج مونث، تصور می‌شدند. اما شیفتگی فیثاغورثیان به اعداد، آنها را به مفاهیمی رساند که همچنان با موضوعِ جدید نظریه اعداد کاملاً مرتبط هستند. به عنوان مثال، آنها چیزی را کشف کردند که آن را «اعداد کامل» می‌نامیدند (اعداد کامل با مجموع همه مقسوم‌علیه‌های حقیقی خود برابر هستند). دو عدد کامل نخست عبارتند از 6 (که برابر است با 1+2+3) و 28 (که برابر است با 1+2+4+7+14). در زمان نگارش این متن، ۴۷ عدد کامل شناخته شده است، و با سریع‌تر شدن کامپیوترها، هر چند سال یکبار اعداد جدیدی به این فهرست اضافه می‌شود.
مثلث‌های قائم‌الزاویه
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
علاوه بر محاسبه وتر یک مثلث، به نظر می‌رسد دو مسئله هندسی دیگر تقریباً به طور اجتناب‌ناپذیری در تمام تمدن‌ها باستانی مطرح بوده. این دو مسئله عبارتند از یافتن محیط و مساحت یک دایره. در نمادگذاری معاصر، این دو مسئله با فرمول‌های نزدیک به هم C=2πr و A=πr2 بیان می‌شوند. در اینجا A نشان دهنده مساحت دایره‌ای به شعاع r است و π (به صورت «پی» خوانده می‌شود) معروف‌ترین ثابت در ریاضیات است، یعنی عدد 3.1415926535....
فرمول‌های مدرن تمایل دارند اولین حقیقت شگفت‌انگیز در مورد عدد پی را مبهم کنند، یعنی این واقعیت که در هر دو فرمول ثابت یکسانی (π) ظاهر می‌شود. آنها با بیش از حد بدیهی جلوه دادن این حقیقت، آن را مبهم می‌کنند. برای درک آنچه ریاضیدانان باستان مجبور به کشف آن بودند، باید تصور کنیم که یک عدد به نام پی وجود دارد که با نسبت محیط دایره به قطر آن d تعریف می‌شود، و یک عدد دیگر که با نسبت مساحت دایره به مجذور شعاع آن تعریف می‌شود. تصور کنید که نمی‌دانید این دو عدد با هم برابرند.
همانطور که انتظار می‌رود، اولین بیان کاملاً واضح مبنی بر ارتباط این دو مسئله، از ریاضیات یونان باستان سرچشمه گرفته. ارشمیدس در قرن سوم پیش از میلاد، در دست‌نوشته‌ی خود با عنوان «اندازه‌گیری دایره» نوشت:
گزاره ۱. مساحت هر دایره با مساحت یک ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه برابر است که در آن یکی از اضلاع حول مثلث قائم‌الزاویه برابر با شعاع، و دیگری برابر با محیط دایره است.
تصور کنید دایره را به تعداد زیادی گُوه برش دهید، که هر کدام از آنها از یک مثلث قابل تشخیص نباشند، بنابراین مساحت آن برابر با نصف حاصلضرب قاعده در ارتفاع گوه است، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، ارتفاع هر گوه شعاع دایره است، و مجموع تمام قاعده‌ها (تقریباً) با محیط دایره برابر است. بنابراین مساحت ترکیبی تمام گوه‌ها (تقریباً) نصف شعاع ضربدر محیط است، و همچنین (تقریباً) با مساحت دایره برابر است. بخش سخت استدلال ارشمیدس تبدیل تساوی‌های تقریبی به تساوی‌های دقیق بود. پس از انجام این کار، نشان دادن اینکه عددِ «محیط پی» همان عددِ «مساحت پی» است، نسبتاً آسان است.
دایره‌ای که به تعداد زیادی گُوه تقسیم شده است.
گزاره ۱ ارشمیدس تحت الشعاع گزاره ۳
او قرار گرفته است، که در آن ثابت کرد عدد پی بین 
و 
قرار دارد. اما در واقع گزاره
۱ است که مفهوم عدد پی را به وجود می‌آورد. بدون آن، شما دو مسئله جداگانه دارید:
چگونه مساحت و محیط دایره‌ها را محاسبه کنیم؟ با داشتن عدد پی، می‌توانید آنها را
با یک مسئله واحد جایگزین کنید: چگونه عدد پی را تقریب بزنیم. گزاره ۳ صرفاً شرح و
بسطی بر آن موضوع است.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
شهر الیا (Elea)، که در استان امروزی سالرنوی ایتالیا قرار دارد، محل زندگی دو فیلسوف برجسته بود که دوره بین فیثاغورث و سقراط را در بر می‌گرفتند. یکی پارمنیدس، فیلسوف بزرگی بود که به خاطر باورهایش مبنی بر اینکه همه چیز یکی است و جهانی که ما درک می‌کنیم با جهانِ واقعیت متفاوت است، مشهور بود - دیدگاهی که به شدت بر فلسفه افلاطون تأثیر گذاشت.
شاگرد پارمنیدس، زنون (Zeno)، نه به خاطر داشتنِ باور خاصی، بلکه به خاطر سبکی از بحث که ارسطو آن را دیالکتیک (dialectic) می‌نامید، شناخته می‌شود. در این سبک، شما به جای اینکه به نفع باورهای خودتان استدلال کنید، علیه باورهای حریف استدلال می‌کنید. زنون باور حریف خود را به عنوان یک مقدمه در نظر می‌گرفت و سعی می‌کرد به طور منطقی ثابت کند که این مقدمه به یک امر پوچ منجر می‌شود. استدلال‌های او معمولاً «پارادوکس» (paradox) نامیده می‌شوند، زیرا به نظر می‌رسد باورهای بسیار رایج را رد می‌کنند. به عنوان مثال، فرض کنید که شما معتقدید که حرکت از نقطه A به نقطه B امکان‌پذیر است. زنون استدلال می‌کند که شما قبل از اینکه بتوانید به نقطه B برسید، باید تا نیمه راه B رفته باشید، و قبل از اینکه بتوانید تا نیمه راه B بروید، باید نیمی از آن مسافت (یا یک چهارم مسافت B) را طی کرده باشید و به همین ترتیب... به عبارت دیگر، شما باید تعداد نامتناهی حرکت را انجام داده باشید تا بتوانید حتی کوچکترین بخش از مسافت از نقطه A به نقطه B را طی کنید! زنون می‌گوید، واضح است که این پوچ است. بنابراین، حرکت غیرممکن است.
پارادوکس دوم زنون، آشیل و لاک‌پشت نام دارد. زنون می‌گوید اگر به حرکت اعتقاد دارید، مطمئناً باید باور داشته باشید که آشیلِ چابک می‌تواند به لاک‌پشتِ کُند برسد. اما او استدلال کرد که اگر آشیل به سمت جایی که لاک‌پشت الان هست برود، از آن زمان تا کنون لاک‌پشت چند قدم به جلو حرکت کرده است. اگر آشیل به آن مکان بدود، لاک‌پشت دوباره به جلو حرکت کرده است و همینطور الی آخر. باز هم، آشیل باید در مدت زمان محدودی تعداد نامتناهی کار را انجام دهد، و این به طور آشکار (حداقل برای زنون) پوچ است.
در بالا (…) به این معنی است که مجموع باید تا بی‌نهایت ادامه یابد، نه اینکه پس از تعداد محدودی از مراحل متوقف شود. به طور رسمی‌تر، اگر جملات این مجموع را به تعداد کافی بزرگ (متناهی) با هم جمع کنید، می‌توانید هر چقدر که می‌خواهید به 2 نزدیک شوید.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
ارشمیدس (Archimedes) اهل سیراکوز (Syracuse) حدود سال ۲۸۷ پیش از میلاد متولد شد و در سال ۲۱۲ پیش از میلاد درگذشت. در زمان خودش، شهرت او بیشتر به دلیل اکتشافات فیزیکی و اختراعات مهندسی‌اش بود تا اکتشافات ریاضی او- با این حال، او مطمئناً خود را یک ریاضیدان می‌دانست. او به اثبات خود مبنی بر اینکه حجم یک کره دو سوم حجم استوانه‌ی محیطی‌اش است، یا به عبارت دیگر، V=(4/3)πr3 ، افتخار می‌کرد. او حتی درخواست کرد که شکل یک کره و استوانه روی سنگ قبرش حک شود.
کار ارشمیدس نمایانگر یک اتحاد زیبا از ریاضیات کاربردی و هندسه، همراه با مفهوم در حالِ تکوینِ بی‌نهایت بود. ولی امروزه اکثر مردم احتمالاً ارشمیدس را با داستانی مرتبط می‌دانند که او برهنه در جاده می‌دوید و فریاد می‌زد «یورکا!» («یافتم!»). داستان از این قرار است که دوست و حامی ارشمیدس، شاه هیرون، می‌خواست بداند که آیا تاج او از طلای خالص ساخته شده است یا خیر. ظاهراً ارشمیدس در وان حمام خود نشسته بود که این راه حل به ذهنش رسید. اگر تاج از آلیاژ ارزان‌تری ساخته شده باشد، باید چگالی کمتری نسبت به طلای خالص داشته باشد. اگر تاج در ظرفی از آب قرار گیرد، تاج تقلبی آب بیشتری را نسبت به یک قطعه طلا با وزن یکسان جابجا می‌کند.
افسانه‌هایی از این دست، غالباً نسخه‌های مدون رویدادهای واقعی هستند. نمونه دیگر آن غرق شدن هیپاسوس توسط فیثاغورثیان بود و نمونه دیگر در چگونگی کشف قانون جاذبه توسط ایزاک نیوتن، و افتادن سیب روی سر او، دیده می‌شود. در واقع، ارشمیدس کتابی با عنوان «درباره اجسام شناور» نوشت که در آن چیزی را که به عنوان اصل ارشمیدس شناخته می‌شود، فرموله کرد: وزن آب جابجا شده توسط یک جسم (چه شناور و چه کاملاً غوطه‌ور) برابر است با نیروی شناوری که آب بر جسم اعمال می‌کند.
از اصل ارشمیدس می‌توان فرمولی برای
چگالی یک جسم غوطه‌ور در آب استخراج کرد. اگر 
نشان‌دهنده چگالی جسم باشد، 
نشان دهنده چگالی سیال (که طبق
قرارداد برای آب 1 است)، 
نشان دهنده وزن جسم خشک، و 
نشان دهنده وزن ظاهری جسم
هنگام غوطه‌وری کامل است، پس:
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
در ۱۰ آگوست ۱۵۴۸، کلیسای سانتا ماریا دل جیاردینو در میلانِ ایتالیا، مملو از تماشاگران کنجکاو بود. رویدادی که آنها برای تماشای آن آمده بودند، یک مراسم مذهبی نبود، بلکه یک دوئل ریاضی میان دو نفر بود. نیکول او تارتالیا (Niccolò Tartaglia) از ونیز، تنها با تکیه بر هوش و ذکاوت خود، با لودوویکو فراری (Lodovico Ferrari)، پسر بچه‌ای روستایی که به خدمت یکی از مشهورترین شهروندان میلان، جیرولامو کاردانو (Girolamo Cardano)- یک پزشک، قمارباز و نابغه‌ای در تمام حوزه‌های فکری - درآمده بود ، مبارزه کرد.
جالب اینجاست که خود کاردانو هیچ جا پیدا نبود. او سه سال قبل با انتشار یک مقاله جنجال به پا کرده بود. این مقاله حاوی یک فرمول ریاضی بود که تارتالیا با نهایت محرمانه بودن به او داده بود. با این حال، در این روز او بهانه مناسبی پیدا کرده بود تا در حالی که خدمتکارش، که به احتمال زیاد ریاضیدان بهتری از خودش بود و از آبروی او دفاع می‌کرد، خارج از شهر باشد.
به نظر می‌رسید که این دو نفر برای یک دعوای خیابانی مناسب‌تر از یک مسابقه ریاضی بودند. تارتالیا در جوانی بر اثر زخم عمیق شمشیری که هنگام غارت زادگاهش، برشا، توسط ارتش فرانسه در سال ۱۵۱۲ به فکش وارد شده بود، چهره‌اش از شکل افتاده بود. اگرچه در بزرگسالی جای زخم خود را با گذاشتن یک ریش پرپشت پنهان می‌کرد، اما این جراحت باعث نقص دائمی در گفتارش شد که منجر به لقب او، یعنی تارتالیا، شد: تارتالیا یعنی کسی که لکنت زبان دارد. فراری نیز زخم‌هایی از دوران کودکی پرآشوب خود داشت، زیرا چند تا از انگشتان دست راستش را از دست داده بود.
ما هیچ وقت به طور دقیقاً نخواهیم دانست که آن روز در کلیسا چه اتفاقی افتاد. ظاهراً این مسابقه ریاضی به یک مسابقه‌ی داد و فریاد تبدیل شد. اما شواهد نشان می‌دهد که فراری برنده این مسابقه شناخته شد. فرماندار میلان که در میان تماشاگران بود، به اندازه‌ای تحت تأثیر استعداد فراری قرار گرفت که او را به عنوان ارزیاب مالیاتی خودش استخدام کرد. تارتالیا شغل تدریس خودش را که تازه در برشا به دست آورده بود، از دست داد، شغلی که هرگز حتی یک پنی هم از آن دریافت نکرد. او نُه سال بعد به عنوان دشمن قسم خورده کاردانو درگذشت. ولی کاردانو، مردی که همه چیز را آغاز کرده بود، بدون اینکه بی‌آبر شود، به خانه بازگشت و همچنان از زندگی خودش به عنوان مرد یک مشهور دوران رنسانس لذت برد.
این نبرد که در کلیسا برگذار شد، پرده پایانی یکی از تلخ‌ترین و عجیب‌ترین اختلافات در تاریخ ریاضیات بود، بحثی بر سر حقوق اولین کشفِ کاملاً جدیدِ ریاضی در اروپا از زمان سقوط امپراتوری روم. تا اوایل دهه ۱۵۰۰، اروپای غربی عمدتاً در تلاش بود تا از بقیه جهان، و همچنین از گذشته‌ی خودش، عقب نماند. فرمولی که تارتالیا به کاردانو سپرده بود - و حالا به ناحق، به عنوان فرمول کاردانو شناخته می‌شود - با کشف آمریکا مقایسه شده است، زیرا این واقعیت جدیدی در مورد جهان بود که در هیچ یک از کتاب‌های باستانی حتی به آن اشاره‌ای هم نشده بود. این فرمول عصری از اکتشافات را در ریاضیات آغاز کرد که به همان اندازه که کشف کلمب نقشه دنیای فیزیکی را دگرگون کرد، نقشه دنیای ریاضی را عمیقاً دگرگون کرد.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
داستان فرمول کاردانو در واقع به بیش از ۳۰۰۰ سال قبل از آن برمی‌گردد. در زمانی بین ۱۸۵۰ تا ۱۶۵۰ قبل از میلاد، مسائلی مانند این در لوح‌های ریاضی بابلی‌ها رواج یافت: دو عدد پیدا کنید که حاصلضرب آنها ۶۰ و تفاضل آنها ۷ باشد. یک ریاضیدان امروزی این اعداد را x و y می‌نامد و توجه می‌کند که y= 60/x است. بنابراین، x-60/x=7 یا به طور معادل، x2-7x–60=0. سپس می‌توان فرمول معادله درجه دوم را بیان کرد که می‌گوید جواب هر معادله درجه دوم، به شکل ax2+bx+c=0 ، به صورت زیر است:
سپس این ریاضیدان با توجه به اینکه از a=1، b=-7 و c=-60 است، به جواب‌های x=12 وy=60/12=5 دست خواهد یافت.
ولی بابلی‌ها ابزارهای جبری که ما امروزه داریم را نداشتند. در عوض، کاتبان رویکرد شهودی‌تری را در پیش می‌گرفتند که شامل رسم یک مستطیل با طول اضلاع نامعلوم، x و y، برش آن چند قطعه، و همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، چیدن مجدد قطعات به شکل L می‌شد.
سپس او با اضافه کردن یک مربع کوچک با مساحت معلوم در گوشه، شکل L را «کامل» می‌کرد. هنوز هم در جبر دبیرستانی یک روش مشابه برای حل این مسئله به نام «تکمیلِ مربع» به عنوان پیش درآمدی بر فرمول درجه دوم تدریس می‌شود، ولی معمولاً هیچ اشاره‌ای به معنای هندسی یا منشأ تاریخی آن نمی‌شود.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
در قرون شانزدهم و هفدهم، نبرد علمی بزرگِ دیگری بر سر یک نظریه «انقلابی» درگرفت که در واقع یک انقلاب نبود. در سال ۱۵۴۳، نیکلاس کوپرنیک (Nicolaus Copernicus) در بستر مرگش، کتابی با عنوان «در باب گردش اجرام آسمانی» منتشر کرد که نه زمین، بلکه خورشید را در مرکز منظومه شمسی قرار می‌داد. اگرچه نظریه کوپرنیک با درک کلیسا از جهان در تضاد بود، اما قطعاً ایده جدیدی نبود. پیش از این هم یک فیلسوف یونانی، به نام آریستارخوس ساموسی (Aristarchus of Samos)، در قرن چهارم پیش از میلاد در مورد مدل خورشید مرکزی اظهار نظر کرده بود.
در سال‌های اولیه دهه ۱۶۰۰، دو رویداد، نظریه «کوپرنیکی» (اما در واقع آریستارخوسی) را در مرکز طوفانی از جنجال قرار داد. اولین مورد، اختراع تلسکوپ در سال ۱۶۰۸ بود. دوم، گالیله با استفاده از این ابزار جدید، چهار قمر کوچک را که به دور مشتری می‌چرخیدند، کشف کرد. برای گالیله و هر کس دیگری که زحمت نگاه کردن از طریق تلسکوپ را به خود می‌داد، این یک شاهد بصری مستقیم از اجرامی در جهان بود که به دور زمین نمی‌چرخیدند. کشف گالیله، ناقوس مرگ این عقیده را که زمین مرکز جهان است، به صدا درآورد.
به راحتی می‌توان گالیله را قهرمان بزرگ نظریه کوپرنیکی دانست، و در واقع داستان او پر از هیجان و شهادت است. گالیله در سال ۱۶۳۳ توسط دادگاه تفتیش عقاید به اتهام ارتداد به دلیل حمایت از این دیدگاه که زمین مرکز جهان نبود، محکوم گردید و مجبور شد توبه کند و تا آخر عمر در حصر خانگی به سر برد. ولی قهرمان دومی نیز برای این داستان وجود دارد که به اندازه گالیله معروف نیست، اما شاید شایسته اعتباری برابر با او باشد. نام او یوهانس کپلر (Johannes Kepler) است.
هر چند کپلر در درجه نخست یک ستاره‌شناس محسوب می‌شود، اما او در ریاضیات یک استعداد واقعی داشت و حدس‌های جسورانه‌ای می‌زد. او می‌توانست الگوهایی را تشخیص دهد که قبلاً هیچ‌کس آنها را ندیده بود - و گاهی اوقات هم چنین چیزهایی وجود نداشتند. به عنوان مثال، وقتی گالیله کشف خود مبنی بر وجود چهار قمر برای مشتری را اعلام کرد، کپلر حدس زد که مریخ باید دو قمر، و زحل نیز باید هشت قمر داشته باشند تا یک تصاعد هندسی ایجاد شود: ۱ (زمین)، ۲ (مریخ)، ۴ (مشتری)، ۸ (زحل). به طرز شگفت‌انگیزی، او در مورد مریخ درست می‌گفت، اما این «الگو» کاملاً تصادفی بود. مشتری ۶۳ قمر دارد که ما در مورد آنها می‌دانیم، و زحل هم ۶۲ قمر دارد.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
پیر دو فرما (Pierre de Fermat ) اهل شوخی و بذله‌گویی نبود. او که پسر یک تاجر ثروتمند چرم در جنوب فرانسه بود، در سال ۱۶۳۱ مدرک حقوق خود را از دانشگاه اورلئان دریافت کرد، سپس منصبی را در دادگاه عالی تولوز به دست آورد و به عضوی از طبقه اشراف درآمد. از شواهد نامه‌هایش برمی‌آید که او مردی خجالتی و کم‌حرف بود که از جنجال بیزار بود.
اما فرما یک ویژگی غیرمعمول داشت: او عاشق ریاضیات بود. در دورانی که ریاضیدانان آن زمان شروع به فراتر رفتن از مرزهای ملی و تبدیل ریاضیات به یک فعالیت بین‌المللی کرده بودند، او به شهرتی جهانی دست یافت که مدت‌ها پس از مرگش نیز ادامه یافت. با یک چرخش عجیب سرنوشت، ماندگارترین میراث او مسئله‌ای بود که مطمئناً خودش آن را حل نکرد. آن مسئله، که آخرین قضیه فرما (Fermat’s Last Theorem) نام گرفت، ناخواسته به بزرگترین شوخی عملی در تاریخ ریاضیات تبدیل شد – یک گزاره فریبنده و ساده که بیش از ۳۵۰ سال تمام تلاش‌ها برای اثبات آن به شکست انجامید.
تا جایی که ما می‌دانیم، فرما یک شخص خودآموخته بود. ولی در دوران دانشجویی‌اش با یک حلقه کوچک از افرادی که به ریاضیات علاقه‌مند بودند، دوستی برقرار کرد و ظاهراً این موضوع او را ترغیب کرد تا تحقیقات خود را آغاز کند. یکی از دوستانش در سال ۱۶۳۶ برای کار در کتابخانه‌ی سلطنتی به پاریس نقل مکان کرد و آثار این ریاضیدان شهرستانیِ ناشناخته، یعنی فرما، را به اطلاع کشیش مارین مرسن (Marin Mersenne) رساند.
در دورانی که هنوز آکادمی‌های علمی و مجلات علمی وجود نداشتند، و اکثر دانشگاه‌ها حتی استاد ریاضیات هم نداشتند، مرسن نقطه کانونی ریاضیات در فرانسه بود. او در صومعه خودش جلسات منظمی را برگزار می‌کرد و تقریباً با هر ریاضیدانی در اروپا در تماس بود. اگر می‌خواستید کشف جدیدی را عمومی کنید، آن را برای مرسن می‌فرستادید، و بقیه دنیا به زودی از آن مطلع می‌شدند.
خود فرما هرگز به پاریس سفر نکرد، هرگز از جنوب فرانسه خارج نشد و تنها یک بار در سال ۱۶۴۶ با مرسن ملاقات کرد. او سرسختانه از انتشار هر چیزی به نام خودش خودداری می‌کرد. با این وجود، به لطف مرسن، نتایج کارهای او در همه جا شناخته شد و سایر ریاضیدانان در فرانسه و خارج از این کشور مشتاقانه مایل به یادگیری روشهای او بودند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
مورخ ریاضی آمریکایی، ویلیام دانهام (William Dunham) کشف فرمول کاردانو برای معادله درجه سوم را با کشف قاره آمریکا توسط کریستوف کلمب مقایسه می‌کند. ولی به یک دلیل بسیار مهم، این قیاس دقیق نیست. کلمب یک قاره کامل را کشف کرد که از نظر اندازه و اهمیت با اروپا قابل مقایسه است. در مقابل، امروزه فرمول کاردانو، حتی برای ریاضیدانان هم، چیزی بیش از یک کنجکاوی کوچک نیست شاید اگر کوبا و هیسپانیولا (جایی که کریستف کلمب برای اولین بار به خشکی رسید) صرفاً جزایری جدا از هم و بدون هیچ قاره‌ای در نزدیکی بودند، می‌شد اهمیت کشف کاردانو را با تأثیر کشف کلمب مقایسه کرد. در اینصورت، مطمئناً این کشف شگفت‌انگیزی بود، اما شاید کشفی نبود که تاریخ جهان را تغییر دهد.
ولی ریاضیدانان در قرن هفدهم حقیقتاً دنیای جدید خود را یافتند، «قاره» ناشناخته‌ای از ریاضیات. این قاره حساب دیفرانسیل و انتگرال، یا حسابان (Calculus)، نام دارد و دو کاشف اصلی آن عبارتند از: ایزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس.
حسابان به ریاضیدانان و دانشمندان واژگانی برای صحبت در مورد کمیت‌هایی که تغییر می‌کنند، ارائه داد. قضیه اساسی حسابان، ابزاری عملی برای حل مسائل مربوط به چنین کمیت‌هایی فراهم می‌کند. علوم مدرن، به ویژه فیزیک و مهندسی، بدون حسابان غیرقابل تصور خواهد بود. از قضا، ریاضیدانانِ محققِ مدرن تقریباً هرگز از اصطلاح «حسابان» استفاده نمی‌کنند.
آن شاخه از ریاضیات که با توابع، انتگرال‌ها، مشتق‌ها، و سری‌های نامتناهی، یا به عبارت دیگر، هر چیزی که با قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مرتبط است، «آنالیز» (analysis) نامیده می‌شود، و همانطور که قاره آمریکا به آمریکای شمالی، جنوبی، و مرکزی تقسیم می‌شود، آنالیز هم به آنالیز حقیقی، آنالیز مختلط، آنالیز تابعی و غیره تقسیم می‌شود، که البته تا حدودی این تفاوت به دقتِ فکری ریاضیدانان مربوط می‌شود. یک ریاضیدان از یک کتابِ «حسابان» انتظار دارد که استدلال‌ها یا توضیحاتِ غیررسمی، یا شهودی، کاملاً غایب باشند؛ ولی در یک کتاب مربوط به «آنالیز»، او انتظارِ اثبات‌های رسمی و صحیح را دارد. با این حال، به نظر من، این تمایز از خودپسندهای فکری ریاضیدانان نیز انگیزه می‌گیرد (یا تداوم می‌یابد).
نیوتن و لایبنیتس تنها چهار سال با هم اختلاف سنی داشتند - نیوتن در سال ۱۶۴۲ در روستایی به نام وولستورپِ انگلستان، و لایبنیتس در سال ۱۶۴۶ در لایپزیگِ آلمان به دنیا آمدند. نیوتن در انگلستان به یک قهرمان ملی تبدیل شد و در سال ۱۷۲۷ در کلیسای وست‌مینستر، آرامگاه ابدی پادشاهان، به خاک سپرده شد. لایبنیتس، علیرغم موفقیت‌هایش در ریاضیات و فلسفه، در کشور خود خیلی مورد توجه قرار نگرفت، و هنگامی که در سال ۱۷۱۶ درگذشت، در قبری بی‌نشان به خاک سپرده شد.
مماس‌ها و منحنی‌ها.
نیوتن یک سری پیشرفت‌های اساسی در فیزیک، و همچنین در ریاضیات ایجاد کرد: او تلسکوپ بازتابی را اختراع، و قوانین حرکتِ نیوتن را تدوین نمود، که در فصل ۱۱ به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت. اغراق نیست اگر بگوییم که بدلیل قوانین نیوتن است که ساختمان‌های ما پابرجا هستند و فضاپیماها پرواز می‌کنند. دوران طولانی و پربار علمی او کم و بیش با سال‌های حضورش در دانشگاه کمبریج همزمان بود، جایی که در سال ۱۶۶۱ به عنوان دانشجوی کارشناسی وارد آن شد و در سال ۱۶۹۶ برای مدیریت ضرابخانه بریتانیا آنجا را ترک کرد.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
اگر از بیشتر مردم بپرسید که درباره اسحاق نیوتن چه می‌دانند، احتمال زیادی وجود دارد که آنها درباره افتادن سیب از درخت و خوردن آن به سر نیوتون به شما بگویند! طبق افسانه‌ها، نیوتن با مشاهده افتادن یک سیب، و فهم اینکه همان نیرویی که حرکت سیب را توضیح می‌دهد، می‌تواند حرکت سیارات را نیز توضیح دهد، برای تدوین قانون جاذبه عمومی گرانش خود از آن الهام گرفت. در برخی از داستان‌های جدید که با گزافه‌گویی همراه هستند، شاید این الهام از برخورد سیب به سر نیوتن سرچشمه گرفته باشد!
در اینجا یک ضدافسانه وجود دارد که به همان اندازه غیرقابل تأیید است و اولین بار در سال ۱۸۵۸ در یک مجله انگلیسی جذاب به نام Notes & Queries به چاپ رسید. به گفته یکی از نویسندگان این مجله، ریاضیدان برجسته آن زمان، کارل فریدریش گاوس (Karl Friedrich Gauss)، این افسانه را به شرح زیر رد کرد: «داستان سیب بسیار پوچ است. بدون شک، این اتفاق چیزی شبیه به این بوده که مردِ احمق و سمجی نزد نیوتن می‌آید و از او می‌پرسد که چگونه به کشف بزرگش رسیده است. وقتی نیوتن خود را متقاعد کرد که با چه آدم سمجی سر و کار دارد، و می‌خواست از شر آن مرد خلاص شود، به او گفت که یک سیب روی بینی‌اش افتاده است. و این موضوع آن مرد را کاملاً روشن کرد و او راضی از آنجا رفت.»
چه برداشتی می‌توان از چنین افسانه‌هایی داشت؟ در واقعیت، داستان سیب بیش از آنچه گاوس تصور می‌کرد، واقعیت دارد (اگر نقل قول از او معتبر باشد ).
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
در سال ۱۹۸۸، مجله Mathematical Intelligencer یک نظرسنجی برای تعیین زیباترین قضایای تاریخِ ریاضی ترتیب داد. به طرز شگفت‌انگیزی، چهار مورد از پنج قضیه برتر این فهرست توسط یک نفر اثبات شده بود: لئونارد اویلر (Leonhard Euler). حتی قابل توجه‌تر اینکه به راحتی می‌توان شش قضیه دیگر از اویلر را پیدا کرد که می‌توانستند در این فهرست قرار بگیرند. در واقع، اویلر بیش از ۸۰۰ مقاله و حدود ۵۰ کتاب و یادداشت نوشت. آکادمی علوم در سَن‌پترزبورگ (جایی که او ۱۷ سال آخر عمرش را گذراند) نتوانست با آثار او همگام شود، و نیم قرن پس از مرگش به انتشار مقالات اویلر ادامه داد!
لئونارد اویلر در سال ۱۷۰۷ در بازل سوئیس متولد شد و در تمام طول زندگی خودش به کشور و شهر زادگاهش افتخار می‌کرد، اگرچه پس از بیست سالگی دیگر هرگز پا به بازل نگذاشت. او این شانس را داشت که در دورانی به بلوغ برسد که ریاضیات در حال تبدیل شدن از یک تلاش عالمانه به یک حرفه بود. انجمن سلطنتی انگلستان در سال ۱۶۶۰، و آکادمی علوم فرانسه کمی بعد از آن، در سال ۱۶۶۶ تأسیس شد. گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، پس از بازگشت از فرانسه، پادشاه فردریک اول را متقاعد کرد که آکادمی علوم پروس را در سال ۱۷۰۰ تأسیس کند. در اوایل دهه ۱۷۲۰، زمانی که تزار اول روسیه، پطر، در حال ساخت پایتخت جدید خود در سن پترزبورگ بود، ساخت یک آکادمی علوم برای یک آکادمی سلطنتی تقریباً حتمی بود.
پادشاهان کم‌کم متوجه شده بودند که ریاضیدانان و دانشمندان می‌توانند نقش مهمی در ساخت زیرساخت‌ها و قدرت نظامی کشورهایشان ایفا کنند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
اگر روزی به دوبلین پایتخت ایرلند رفتید، سوار اتوبوس جاده برومبریج شوید و در کانال سلطنتی پیاده شوید. شاید متوجه نشوید، اما آنجا مشهورترین گرافیتی تاریخ ریاضی نقش بسته است.
پل سنگی برومبریج، از سطح خیابان کوچک و بی‌هویت به نظر می‌رسد، اما اگر به سطح کانال پایین بیایید و به سمت غرب پل بروید، (همراه با تعداد زیادی گرافیتی مدرن و رنگ‌آمیزی شده با اسپری) پلاکی با نوشته‌ی زیر خواهید یافت:
« هنگامی که سر ویلیام روآن همیلتون در شانزدهم اکتبر ۱۸۴۳ از اینجا عبور می‌کرد، در یک لحظه نبوغ خود را نشان داد و فرمول اساسی ضرب کواترنیون‌ها i2=j2=k2=ijk=–1 را کشف کرد و آن را بر روی سنگ این پل حک کرد.»
راستش را بخواهید، هیچ‌کس نمی‌داند که آیا همیلتون واقعاً فرمول خود را در این پل حک کرده است یا خیر. منبع این داستان نامهای است که او سال‌ها بعد به پسرش، آرچیبالد، نوشته است و مانند بسیاری از داستان‌های خانوادگی، ممکن است کمی به آن شاخ و برگ داده شده باشد. با این حال، شکی نیست که همیلتون از کشف کواترنیون‌ها (quaternions)، که آن را بزرگترین کشف زندگی خود می‌دانست، بسیار هیجان‌زده بوده است.
همیلتون چنان مجذوب اختراع خود شد که بقیه عمرش را صرف مطالعه معادلات کرد. از دیدگاه ریاضیدانان قرن بیستم، این کشف در واقع نقطه عطفی در تاریخ ریاضیات بود، اما به شیوه‌ای ظریف‌تر از آنچه همیلتون می‌توانست پیش‌بینی کند. آنها اولین نمونه از یک جبرِ جدید بودند که به طور کامل از تخیل یک نفر ساخته شده بود. این گام، همراه با کشفِ تقریباً همزمانِ هندسه‌ها و توابع جدید توسط ریاضیدانان دیگر، ریاضیدانان را از ساختارها (و محدودیتهای) سنتی خودش رها کرد. برای اولین بار، آنها توانستند این جرات را به خودشان بدهند که از دنیای واقعی فراتر روند - آنها آزاد بودند که دنیاهای کاملاً جدیدی را اختراع کنند.
قبل از قرن نوزدهم، فقط یک جبر، و یک هندسه، وجود داشت. حتی به ذهن ریاضیدانان هم خطور نکرد که چیز متفاوتی اختراع کنند. درست است که به تدریج در طول قرن‌ها مفهوم «عدد» گسترش یافته بود، یعنی ابتدا شامل اعداد گنگ، صفر، و اعداد منفی بود، که در نهایت اعداد موهومی هم به آن اضافه شد. اما این انواع جدید اعداد تنها با دشواری فراوان و تنها پس از بحث‌های تلخ پذیرفته شدند. آنها فقط به این دلیل پذیرفته شدند که ضروری بودند. به همین ترتیب، حسابان یک تکنیک انقلابی بود، ولی شامل ایجاد یک هندسه جدید نمی‌شد. مفهوم فضا از نظر نیوتن دقیقاً مشابه اقلیدس بود. اما همه اینها در قرن نوزدهم تغییر کرد. این یک دوره انقلابی بود، چه در ریاضیات و چه در دنیای بیرون. با شروع انقلاب فرانسه، جوامع اروپایی ساختارهای سیاسی قدیمی خود را کنار گذاشتند و ساختارهای جدیدی را ایجاد کردند. به همین ترتیب، ریاضیدانان شروع به آزمودن ساختارهای جدیدی کردند که مستقیماً با اصول اولیه‌ای که قرن‌ها از آنها استفاده می‌کردند، در تضاد بود. این دوره‌ای بود که مری شلی (Mary Shelley) توانست رمان خود، فرانکنشتاین (Frankenstein)؛ یا پرومتئوس مدرن، را بنویسد و در مورد خطر دانشمندانی که نقش خدا را بازی می‌کنند، هشدار دهد. ریاضیدانان نیز مانند دکتر فرانکنشتاین به پرومتئوس‌های مدرن تبدیل شدند، اگرچه مخلوقات آنها از گوشت و خون ساخته نشده بود.
همیلتون از این تحول ابراز تاسف می‌کرد. او از نظر اجتماعی محافظه‌کار و حامی تاج و تخت انگلیس در ایرلند بود، همان ایرلندی که تحت سلطه انگلیس گرسنه و فرسوده بود. از نظر ریاضی، او کواترنیون‌ها را اختراع کرد تا فضای اقلیدسی را بهتر درک کند، نه اینکه یک جبر جدید ایجاد کند. با این وجود، انقلاب‌ها اغلب توسط افرادی آغاز می‌شوند که هیچ ایده‌ای از آنچه شروع می‌کنند، ندارند.
ویلیام روآن همیلتون، متولد ۱۸۰۶، کودک نابغه‌ای بود که تا ده سالگی تمام زبان‌های اروپایی و همچنین عبری، لاتین، یونانی، و زبان‌های دیگر را می‌دانست. همیلتون در طول زندگی خود یک شاعر آماتور و مشتاق بود و از دوستان نزدیک شاعر انگلیسی ویلیام وردزورث بود. وردزورث بود که با ظرافت، اما خردمندانه، به همیلتون توصیه کرد که او به عنوان یک دانشمند، چیزهای بیشتری برای ارائه به جهان دارد تا یک شاعر.
در سال ۱۸۲۷، اگرچه همیلتون هنوز از دانشگاه فارغ‌التحصیل نشده بود! ولی به عنوان ستاره‌شناس سلطنتی ایرلند منصوب شد. این انتصاب بیشتر به تحقیقات او در زمینه اپتیک مربوط می‌شد تا علاقه‌اش به نجوم. او پیش از این در دوران کارشناسی مقالاتی در مورد اپتیک منتشر کرده بود و پنج سال بعد با کشف شکست مخروطی، توجه‌ها را به خود جلب کرد. انواع خاصی از کریستال‌ها، که به آنها دوشکستی می‌گویند، می‌توانند یک پرتو نور را به دو پرتو جداگانه تقسیم کنند. همیلتون از نظر ریاضی ثابت کرد که اگر زاویه تابش درست باشد، پرتو نه تنها به دو پرتو، بلکه به یک مخروط توخالی از نور تقسیم می‌شود. بعداً در همان سال، هامفری لوید شکست مخروطی را در آزمایشگاه خود نشان داد. این یکی از اولین دفعاتی بود که یک پدیده فیزیکی جدید ابتدا صرفاً توسط ریاضیات استنتاج، و سپس توسط آزمایش تأیید می‌شد. پس از این موفقیت، دیگر همیلتون فقط یک نابغه نبود؛ او یکی از قهرمانان علمی بریتانیای کبیر بود.
پلاک روی پل بروگهام، دوبلین، یادبود معادله کواترنیون‌های همیلتون.
کشف بزرگ دیگر همیلتون، یعنی کواترنیون‌ها (quaternions )، تاریخچه‌ای بسیار طولانی‌تر و عجیب‌تر داشت. حدود سال ۱۸۳۰، همیلتون شروع به جستجوی راهی برای ضرب اعداد سه‌تایی در یکدیگر کرد. در این زمان، ضرب و تقسیم جفتی از اعداد، یا همان اعداد مختلط، نه تنها امکان‌پذیر، بلکه یک بخش اساسی از ریاضیات شده بود. هر دو جفت از این دست، مثلاً (a+bi) و (c+di) را می‌توان با استفاده از قوانین جبر، و اتحاد جادوییi2=–1 ، ضرب یا تقسیم کرد:
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
در اوایل قرن نوزدهم، ریاضیات دو نفر از درخشان‌ترین استعدادهای خود را در سنین بسیار کم از دست داد، یک نروژی ۲۶ ساله به نام نیلز هنریک آبل (Niels Henrik Abel) و یک فرانسوی ۲۰ ساله به نام اواریست گالوا (Évariste Galois). ولی آنها بیش از مرگ زودهنگامشان، به هم مرتبط بودند. آنها با هم متحد شدند تا به یکی از کهنه‌ترین سئوالات در ریاضیات پاسخ قطعی بدهند: آیا یک نسخه عمومی، شبیه فرمول کاردانو برای معادلات درجه سوم، وجود دارد (که در بخش دوم، در مورد آن بحث کردم) که بتوان آن را برای معادلات با درجه پنج به بالا به کار گرفت؟ طی این فرآیند، آنها شاخه جدیدی از ریاضیات را گشودند که اکنون آن را نظریه گروه‌ها (group theory) می‌نامیم.
آبل در سال ۱۸۰۲ به دنیا آمد. او فرزند یک سلسله طولانی از روحانیون روستایی بود. دوران کودکی او از نظر سیاسی برای نروژ (که به نوعی یک مهره در جنگ‌های ناپلئونی بود) دوران پیچیده‌ای بود. پس از تقریباً ۳۰۰ سال حکومت نسبتاً ملایم دانمارک، نروژ برای مدت کوتاهی در سال ۱۸۱۴ به یک کشور مستقل تبدیل شد، اما بعداً در همان سال، پارلمان این کشور رای به رسمیت شناختن پادشاهی سوئد داد. پدر آبل، که دو بار به نمایندگی پارلمان انتخاب شده بود، به دلیل دیدگاه‌های استقلال‌خواهانه خود، به یک عامل رسوایی تبدیل شد. پس از مرگ پدر آبل در سال ۱۸۲۰، مادر الکُلی او با مرد دیگری آنجا را ترک کرد و نیلز و خواهر و برادرانش در فقر رها شدند.
خوشبختانه، معلمان آبل استعداد او در ریاضیات را تشخیص دادند و او را تشویق کردند. زمانی که آبل تحصیلات دانشگاهی خود را به پایان رساند، مشخص بود که به آنها گفته شد که توانایی‌های او بسیار فراتر از هر موقعیتی است که در نروژ برای او پیدا می‌شد. هیئت علمی دانشگاه پادشاه سوئد را متقاعد کرد که به آبل کمک هزینه سفر دو ساله برای بازدید از مراکز پیشرو ریاضیات اروپا، یعنی گوتینگن (در آلمان) و پاریس را بدهد. سفر طولانی آبل، از سال ۱۸۲۵ تا ۱۸۲۷، بسیار شادکام آغاز شد. یکی از اولین افرادی که او در آلمان ملاقات کرد، لئوپولد آگوست کرل (Leopold August Crelle) بود که در شرف راه‌اندازی مجله جدیدی به نام مجله ریاضیات محض و کاربردی بود که اغلب به سادگی با نام مجله کرل شناخته می‌شود. ولی آبل نتوانست سایر ریاضیدانان برجسته آن زمان، مانند کارل فریدریش گاوس در آلمان و آگوستین-لویی کوشی و آدرین-ماری لژاندر در فرانسه را تحت تأثیر قرار دهد. آبل در طول سفر خود به پاریس در سال ۱۸۲۶، مقاله‌ای را که مهمترین مقاله خود می‌دانست، به آکادمی علوم پاریس ارائه داد. ظاهراً کوشی آن را در کشوی میزش گم کرد و تا سال ۱۸۴۱، مدت‌ها پس از مرگ آبل، چاپ نشد.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
همزمان با انقلابی که در جبر در حال وقوع بود، رویدادهای مشابهی نیز در هندسه در جریان بود. دو هزار سال قبل، اقلیدس مجموعه کوتاهی از اصول موضوعه (axioms) را مطرح کرد که ظاهراً می‌شد تمام هندسه را از آنها استخراج کرد. این اصول موضوعه قرار بود حقایق بدیهی باشند که نیازی به اثبات ندارند.
قرن‌ها هندسه اقلیدس برترین نوع از استدلال قیاسی محسوب می‌شد. فیلسوف آلمانی قرن هجدهم، ایمانوئل کانت (Immanuel Kant)، نظریه‌ای در مورد دانش بنا نهاد که در آن هندسه اقلیدس را به عنوان نمونه‌ای از حقیقت «پیشینی ترکیبی» ذکر کرد. به عبارت دیگر، دانشِ خطاناپذیر در مورد جهان به جای مشاهده، از عقلِ محض ناشی می‌شود. با این حال، یکی از این اصول موضوعه بود که همیشه کمی ناهنجار‌تر از بقیه به نظر می‌رسید. این اصل موضوعه «فرضیه توازی» است که اقلیدس تا اواخر جلد اول کتاب خود از آن استفاده نمی‌کند: «اگر یک خط مستقیم (خط مورب) دو خط مستقیم دیگر را قطع کند، به طوری که مجموع زوایای داخلیِ همان‌سو کمتر از دو قائمه (۱۸۰ درجه) باشد، اگر آن دو خط مستقیم به قدر کافی امتداد داده شوند، در همان‌سمتی که زوایای مجموعی کمتر از دو قائمه دارند، یکدیگر را قطع خواهند کرد.» برای مثال، از این فرض برای اثبات اینکه مجموع زوایای یک مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است، استفاده می‌شود.
بسیاری از ریاضیدانان احساس می‌کردند که اصل توازی درست است اما به هیچ وجه بدیهی نیست، و بنابراین نقصی در سیستم اصول موضوعه اقلیدس محسوب می‌شد، که اگر این نقص وجود نداشت، واقعاً عالی بود. آنها این چالش را پذیرفتند که آن را از طریق سایر اصول موضوعه‌ای که اقلیدس ارائه کرده بود اثبات کنند. این تلاش برای رسیدن به جام جهانی ریاضی، افراد مشهور و گمنام را به یک اندازه مجذوب خودش کرده بود. لُژاندر (که قبلاً با او آشنا شده‌ایم) معتقد بود که آن را اثبات کرده است. و در بُرهه‌های مختلف زمانی، ریاضیدانانِ نه چندان مشهور، مانند جان والیس، جان پلیفر، جیرولامو ساکری، یوهان لمبرت و ولفگانگ بویایی نیز روی این موضوع کار کردند. در همه موارد، آنها فرضیات پنهانی را مطرح می‌کردند که با بازبینی موشکافانه سایر ریاضیدانان، وضعیت بهتری از اصل موضوع اقلیدس نداشتند.
در نیمه اول قرن نوزدهم، سه مرد به طور جداگانه و مستقل جرأت کردند به چیزی فکر کنند که غیرقابل تصور بود. شاید هندسه معتبری وجود داشته باشد که در آن حقیقتاً اصل توازی نادرست باشد. در این صورت، این یک هندسه نااقلیدسی (non-Euclidean) خواهد بود - یعنی هندسه‌ای که در آن یکی از اصولی که بیش از دو هزاره قبل توسط اقلیدس مطرح شد، به صراحت نقض می‌شود.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
برخورد نامناسب گاوس در کشف هندسه نااقلیدسی، یکی از معدود نقاط ضعف او در زندگی حرفهای پربارش بود. او در بسیاری از بخش‌های این موضوع سهم بسزایی داشت و عملاً او بود که مبحث مدرن نظریه اعداد را ایجاد کرد، حوزه‌ای که به خواص اعداد صحیح، و به ویژه حل معادلات با جواب‌های صحیح می‌پردازد.
گاوس در سال ۱۷۷۷ در برانزویک آلمان متولد شد. گاوس به عنوان یک کودک نابغه، توجه شاهزاده برانزویک را به خود جلب کرد، که در طول دوران مدرسه و دانشگاه گوتینگن از گاوس حمایت مالی می‌کرد، جایی که او در سال ۱۷۹۹ با اولین اثبات نه چندان رضایت‌بخش خود از قضیه اساسی جبر، دکترای خود را دریافت کرد. (او بعداً سه اثبات دیگر برای این قضیه ارائه داد.)
در قلب گاوس، نظریه اعداد همیشه جایگاه ویژه‌ای داشت، موضوعی که او آن را «ملکه ریاضیات» می‌نامید. اولین اکتشافات مهم او در همین زمینه بود. در سال ۱۷۹۶، زمانی که گاوس هنوز دانشجوی دانشگاه بود، ثابت کرد که می‌توان یک ۱۷-ضلعی منتظم را با خط‌کش و پرگار رسم کرد - کشفی که یونانیان باستان، که برای اولین بار به چنین مسائل ترسیمی علاقه‌مند شدند، از آن غافل بودند. اگرچه این قضیه شبیه یک قضیه هندسی به نظر می‌رسد، اما ارتباط نزدیکی با حل‌پذیری معادلات چندجمله‌ای دارد.
سوال کلیدی این است که آیا می‌توان یک
زاویه 
درجه‌ای را با
خط‌کش و پرگار رسم کرد. اگر چنین است، با سرهم‌بندی ۱۷ مثلث متساوی‌الساقین که رأس
آنها همین زاویه را دارد، به سادگی می‌توان یک 17-ضلعی را رسم کرد. مدت‌ها پیش، در
سال ۱۶۳۷، رنه دکارت در کتاب خود به نام ”هندسه“ (که مطمئناً
گاوس آن را مطالعه کرده بود)، معیار ساده‌ای برای قابلیت ساخت یک پاره خط پیدا
کرده بود. یعنی، اگر طول یک پاره خط را را بتوان فقط با استفاده از اعداد صحیح و
پنج عمل جبری +، – ، ×، ÷ و √ بیان کرد، می‌توان یک پاره خط را با خط‌کش و پرگار از یک پاره خط داده
شده با طول واحد ساخت. این باید تا حدودی آشنا به نظر برسد - بسیار شبیه
جعبه ابزار برای حل معادلات چندجمله‌ای با رادیکال‌ها است. اما محدودتر است، زیرا
فقط جذر مجاز است،
و
ریشه سوم یا بالاتر مجاز نیستند. به همین ترتیب، یک زاویه در
صورتی قابل ساخت است که کسینوس و سینوس آن، طول‌های قابل ساخت باشند.
جسارت گاوس شگفت‌انگیز است. برای
اثبات اینکه زاویه درجه یک زاویه
قابل رسم است، او معادله چندجمله‌ایx17=1 را حل کرد. در این مرحله، یعنی در سال 1796، هیچ کس
نمی‌دانست که آیا معادلات درجه پنج، حتی با استفاده از ریشه سوم، ریشه چهارم، و
ریشه پنجم، قابل حل هستند یا خیر. ولی اینجا گاوس پیشنهاد حل یک معادله درجه هفدهم
را با ابزارهای کمتر می‌داد. و او موفق شد!
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
داستان‌هایی که تا اینجای کتاب تعریف کرده‌ام، ریاضیات فرانسه را در قاب بسیار مثبتی به تصویر نکشیده بود. ابتدا آکادمی علوم فرانسه یادداشت‌های آبل در مورد توابع بیضوی را گم کرد، و سپس کشف انقلابی گالوا در نظریه گروه‌ها را رد کرد. برخی از غیرمنتظره‌ترین پیشرفت‌ها در نیمه اول دهه 1800، از طرف ریاضیدانان غیر فرانسوی حاصل شد - همیلتون در ایرلند، آبل در نروژ، بویایی در مجارستان، لباچفسکی در روسیه، و البته گاوس در آلمان. با این وجود، بدون شک مرکز ریاضیات در این زمان در پاریس بود. امروز هر دانشجوی ریاضیات ناگزیر با مجموعه‌ای کامل از نامهای فرانسوی آن دوره، از جمله لاگرانژ (Lagrange)، لاپلاس (Laplace)، لژاندر (Legendre)، کوشی (Cauchy)، لیوویل (Liouville)، پواسون (Poisson)، و فوریه (Fourier) روبرو خواهد شد.
قابل توجه است که ریاضیات فرانسه در طول دوره‌ای از تحولات سیاسی عظیم، بسیار قوی باقی ماند. دوران انقلاب فرانسه، که شامل دوره وحشت، سپس ظهور ناپلئون، تبعید و بازگشت او، احیای سلطنت، کناره‌گیری شاه چارلز، و به سلطنت رسیدن شاه لوئی فیلیپ، و در نهایت جمهوری دوم و امپراتوری دوم بود، مانعی برای رشد ریاضیات نبود و از همه آنها جان سالم به در برد. همه این نوسانات سیاسی، پیامدهایی برای ریاضیدانان داشت و سرنوشت آنها با رهبران مورد نظرشان فراز و نشیب داشت. با این وجود، فرهنگ ریاضی فرانسه به طور کلی رونق گرفت. شاید یکی از دلایل آن افزایش تحرک اجتماعی فرانسه بود که به هر کسی که استعداد، و کمی شانس داشت، دسترسی به آموزش و فرصت‌های شغلی را می‌داد.
یک نمونه عالی از این افراد می‌تواند ژوزف فوریه (Joseph Fourier) باشد، پسر یک خیاط که در سال ۱۷۶۸ متولد، و در نه سالگی یتیم شد. او که در یک صومعه بزرگ شد و در یک مدرسه نظامی تحصیل کرد، و گرچه دو بار دستگیر شد، از انقلاب حمایت کرد و توانست در دوران وحشت از اعدام جان سالم به در ببرد. او در مؤسسات آموزشی برتر فرانسه، مدرسه عالی نرمال که در آن دانشجو بود، و مدرسه عالی پلی‌تکنیک که در آن به عنوان یک استاد جوان مشغول به کار شد، پیشرفت کرد.
در سال ۱۷۹۸، ناپلئون بناپارت با این ایده که مصر را به مستعمره فرانسه تبدیل کند، به این کشور لشکرکشی کرد. ناپلئون علاوه بر یک نیروی تهاجمی ۴۰ هزار نفره، ۱۶۷ دانشمند را برای مطالعه و فهرست‌بندی فرهنگ مصر به همراه خود آورده بود[2]. در میان «دانشمندانی» که به این جمع پیوستند، فوریه نیز حضور داشت. ظاهراً این اولین باری بود که فوریه با ناپلئون ملاقات کرد و این ارتباط زندگی او را تغییر داد. این لشکرکشی نظامی فاجعه‌بار بود، نیروی دریایی بریتانیا پس از رسیدن ناپلئون به مصر، ناوگان فرانسه را نابود کرد و ارتش عظیم او را زمین‌گیر کرد، اما فوریه به روشنی تأثیر خوبی بر امپراتور آینده گذاشت.
وقتی فوریه در سال ۱۸۰۱ به فرانسه بازگشت، ناپلئون او را به عنوان فرماندار استانی در مرز ایتالیا به نام ایزر (Isère)، منصوب کرد. فوریه از این موضوع کاملاً راضی نبود، زیرا ترجیح می‌داد در پاریس و در مدرسه پلی‌تکنیک بماند، اما ثابت کرد که خدمتگزار قابلی برای مردم است. شکست ناپلئون در واترلو در سال ۱۸۱۵ به حرفه سیاسی فوریه پایان داد، اما در واقع به حرفه علمی او کمک کرد. او به پاریس بازگشت و در سال ۱۸۲۲ دبیر آکادمی علوم شد و در سال ۱۸۳۰ درگذشت.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
در حالی که ریاضیات در جبر، هندسه، و نظریه توابع دگرگونی‌هایی را تجربه می‌کرد، فیزیک نیز درگیر انقلاب‌های خودش بود.
در آغاز قرن نوزدهم، نظریه‌های مکانیک و گرانش در وضعیت نسبتاً خوبی بودند. نیوتن توضیح داده بود که سیارات چگونه به دور خورشید می‌چرخند. اویلر، لاپلاس و دیگران برهمکنش‌های چندجسمی در منظومه شمسی، مانند حرکت تقدیمی اعتدالین و تغییرات آهسته در مدارهای مشتری و زحل را توضیح داده بودند. قوانین نیوتن توضیح داده بودند که چگونه اجسام جامد به نیروهای مکانیکی واکنش نشان می‌دهند و معادلات هیدرودینامیک اویلر همین کار را برای سیالات انجام داده بودند.
با این حال در حوزه فیزیک سه موضوع بود که برای جامعه علمی کاملاً مرموز باقی مانده بود: الکتریسیته، مغناطیس، و ماهیت نور. تا سال ۱۸۰۰، کوچکترین مدرکی مبنی بر ارتباط هیچ یک از این سه پدیده با سایر موارد وجود نداشت. ولی تا سال ۱۸۶۵، همه چیز تغییر کرد و فیزیکدانان به نظریه‌ای رسیدند که هر سه موضوع را متحد می‌کرد. میدان‌های مغناطیسی توسط جریان‌های الکتریکی تولید می‌شوند. میدان‌های الکتریکی توسط میدان‌های مغناطیسی درحالِ تغییر ایجاد می‌شوند. و نور چیزی بیش از یک موج الکترومغناطیسی متحرک نیست، یک پرده بافته شده پیچیده از میدان‌های مغناطیسی و میدان‌های الکتریکی مرتعش که مانند تار و پود یک تکه پارچه از یکدیگر عبور می‌کنند.
برای رسیدن به این نتایج، فیزیکدانان ابتدا باید تعدادی از اکتشافات تجربی شگفت‌انگیز را درک می‌کردند. سپس آنها مجبور بودند نوع جدیدی از فیزیک را توسعه دهند که در آن اشیاء جامد و ملموس (مانند چرخ، میله، قرقره، و اهرم، یا همان مواد مکانیکی) با مفاهیم ناملموسی مانند میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی جایگزین می‌شدند. از آنجا که عقل سلیم و تجربه روزمره در مورد این پدیده‌های ناملموس، اما واقعی، صدق نمی‌کرد، فیزیکدانان مجبور شدند ریاضیات را به شیوه‌ای عمیق‌تر از گذشته به کار بگیرند. ریاضیات تنها راهنمایی بود که وقتی شهود و حواس ما شکست می‌خوردند، کار می‌کرد.
ماهیت نور از اوایل دهه ۱۶۰۰ مورد بحث بود. در آن زمان ایزاک نیوتن استدلال کرد که نور از ذرات ریز تشکیل شده است، ولی رابرت هوک (Robert Hooke) اصرار داشت که آنها از امواج ساخته شده‌اند. اعتبار والای سخنان نیوتن باعث شد نظریه موج برای حدود صد سال به حاشیه رانده شود. اما در اوایل دهه ۱۸۰۰، چندین کشف تجربی، این بحث را دوباره زنده کرد. در سال ۱۸۰۱، توماس یانگ (Thomas Young) تداخل امواجِ نور را کشف کرد. وقتی یک پرتو نوری از دو شکاف باریک و موازی عبور می‌کند، آنچه در طرف دیگر می‌بینیم، دو نوار باریک روشن نیست، بلکه مجموعه‌ای از نوارهای تاریک و روشن است، که روشن‌ترین نوارهای نوری درست در وسط قرار دارد. اگر نور را مانند امواج آب در یک مخزن در نظر بگیرید، توضیح این موضوع آسان است، اما اگر آن را به عنوان ذرات ریز ساچمه مانند در نظر بگیرید، توضیح این پدیده آسان نیست.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
هیچ دانشمندی به اندازه آلبرت انیشتین نمادِ قرن بیستم نیست. او نیمی شیطان‌صفت و نیمی پیامبر بود؛ در عکس معروفی زبانش را برای ما درمی‌آورد، و در عکسی دیگر با چشمانی خسته به ما نگاه می‌کند. موهای نامرتب، و بی‌توجهی او به قراردادهای اجتماعی، تصویر عامه‌پسندی از علم تعریف کرده‌اند. او اولین دانشمند به سبک ستاره‌های راک بود.
از برخی جهات، علم نمی‌توانست سفیری بهتر از انیشتین برای عموم مردم آرزو داشته باشد. شهرت انیشتین واقعاً شایسته او بود. وی نه تنها یک بار، بلکه بارها و بارها، جهان‌بینی فیزیکدانان را متحول ساخت. او اولین فیزیکدانی بود که کوانتیزه شدن نور را درک کرد؛ او اولین کسی بود که هم ارزی ماده و انرژی را تشخیص داد؛ نام او مترادف با نظریه نسبیت است. ولی نام او از علم نیز فراتر رفت. او از شهرت خود برای پیشبرد آرمانِ صلح‌طلبی استفاده کرد، حداقل تا زمانی که ظهور آلمان نازی این خواسته را برای او غیرقابل امکان کرد.
در سال ۱۹۴۰، او به رئیس جمهور آمریکا، فرانکلین روزولت، در مورد تهدید ناشی از بمب اتمی هشدار داد، هشداری که راه را برای پروژه مَنهتن هموار کرد و عمیقاً بر تعادل قدرتِ جهانی پس از جنگ تأثیر گذاشت.
اکتشافات انیشتین به همان اندازه که نتیجه شخصیت و زمانه‌ای بود که او در آن زندگی می‌کرد، نتیجه هوش و ذکاوت وی نیز بود. او ذاتاً عاشق زیر سئوال بردن اقتدار بود. در حالی که سایر فیزیکدانان در رد کردن آن مردد بودند.
با وجود قرن‌ها سُنتهای رایج، انیشتین کاملاً در مورد آنها بی‌تفاوت، و حتی خوشحال بود که این کار را انجام دهد. او خوش‌شانس بود که در زمانی به بلوغ رسید که فیزیکدانان سه نظریه بالغ و کاملاً پذیرفته‌شده داشتند. این نظریه‌ها عبارت بودند از مکانیک، الکترومغناطیس، و ترمودینامیک، که اساساً به طُرق ظریفی با یکدیگر در تضاد بودند. در حالی که دیگران چشمان خود را از این تناقضات می‌پوشاندند، انیشتین جرأت کرد مستقیماً به آنها نگاه کند و نشان داد که چگونه می‌توان بر این تضادها غلبه کرد.
جالب اینجاست که انیشتین در اوایل دوران حرفهای خود عاشق ریاضیات نبود. معلم سابق ریاضی او، هرمان مینکوفسکی، زمانی نوشت: «انیشتین در دوران دانشجویی‌اش تنبل بود و هرگز به ریاضیات اهمیت نمی‌داد.» اما نگرش انیشتین با گذشت زمان کاملاً تغییر کرد. در سال ۱۹۰۸، فرمول‌بندی ریاضی مینکوفسکی از نسبیت خاص، به نظریه انیشتین کمک کرد تا پذیرفته شود. انیشتین بدون یک درک عمیق از هندسه نااقلیدسی، هرگز نمی‌توانست نظریه نسبیت عام خود را بنویسد. تا سال ۱۹۱۲، انیشتین از تحقیری که نسبت به ریاضیات داشت دست کشیده بود: «من احترام زیادی برای ریاضیات قائل شده‌ام، موضوعی که تا به امروز بخش‌های مهمی از آن را از جهت نادانی خودم صرفاً تجملی می‌دانستم!»
گاهی اوقات نوکیشان بهترین مبلغان مذهبی می‌شوند. حتی اگر انیشتین ریاضیدانِ بی‌اشتیاقی بود، مطمئناً اعتبار این رشته را افزایش داد. بنابراین منطقی است که تاریخ معادلاتِ قرن بیستم را با او آغاز کنیم.
بزرگترین انقلاب در فیزیک قرن بیستم با یک تجربه به ظاهرِ بی‌اهمیت آغاز شد. در سال ۱۸۸۷، فیزیکدان آلمانی، هاینریش هرتز (Heinrich Hertz)، متوجه شد که وقتی الکترودها در معرض نور (به ویژه نور فرابنفش) قرار می‌گیرند، راحت‌تر از زمانی که در تاریکی باشند، می‌توانند بین دو الکترود فلزی جرقه ایجاد کنند.
در سال ۱۹۰۲ یک فیزیکدان دیگر آلمانی، به نام فیلیپ لنارد، نشان داد که تاباندن نور بر روی یک فلز باعث می‌شود که فلز چیزی را که در آن زمان به عنوان «پرتوهای کاتدی» شناخته می‌شدند و اکنون به عنوان الکترون شناخته می‌شوند، ساطع کند. اگر الکترون‌ها انرژی کافی داشتند، می‌توانستند جرقه‌هایی را که هرتز دیده بود، تولید کنند. این پدیده به عنوان اثر فوتوالکتریک شناخته شد، یعنی تولید الکتریسیته از نور. لنارد با تغییر شدت و فرکانسِ نور (یعنی رنگ آن) ، چیزهای عجیبی را در مورد اثر فوتوالکتریک کشف کرد. این پدیده به هیچ وجه با نور قرمز اتفاق نمی‌افتد، مهم نیست که نور چقدر شدید باشد. همچنین، انرژی الکترون‌های ساطع شده با افزایش شدت نور افزایش نمی‌یابد، بلکه فقط زمانی که فرکانس افزایش یابد، انرژی الکترون‌ها افزایش می‌یابد.
در سال ۱۹۰۵، آلبرت انیشتین، که در آن زمان یک کارمند ۲۶ ساله اداره ثبت اختراعات در بِرن سوئیس بود، یک توضیح انقلابی برای کشف لنارد ارائه داد. او فرض کرد که نور «مانند یک محیط ناپیوسته متشکل از کوانتوم‌های انرژی رفتار می‌کند». حالا آن «کوانتوم‌های انرژی»، فوتون نامیده می‌شوند.
اینشتین استدلال کرد که هر فوتون حاوی مقدار مشخصی از انرژی است که متناسب با فرکانس نور، یعنی v، است: E=hv.
کوانتومی بودن نور به این معنی است که جذب یک فوتون یک معامله همه چیز یا هیچ چیز است. وقتی یک فوتون به سطح فلز برخورد می‌کند، نمی‌تواند نیمی از آن جذب و نیمی دیگر منعکس شود (مانند یک موج معمولی). اگر جذب شود، تمام انرژی آن به هدف می‌رود. اگر آن انرژی از انرژی اتصال (P) که الکترون‌ها را به سطح فلز نگه می‌دارد بیشتر شود، فلز الکترونی با انرژی مشخصه hv–P منتشر می‌کند.
فرضیه کوانتومی نور انیشتین توضیح می‌دهد که چرا نور قرمز نمی‌تواند اثر فوتوالکتریک ایجاد کند. نور قرمز طول موجِ بلندتر و فرکانس پایین‌تری نسبت به نور سبز یا آبی دارد. از آنجا که فرکانس f آنها کوچکتر است، فوتون‌های نور قرمز انرژی کافی برای بیرون راندن یک الکترون را ندارند. (به عبارت دیگر، hv<P.) اگر نور را شدیدتر کنید در حالی که رنگ آن ثابت بماند، تعداد فوتون‌ها افزایش می‌یابد، اما هیچ یک از آنها به اندازه کافی پرانرژی نیستند که اثر فوتوالکتریک را ایجاد کنند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
تا سال ۱۹۲۲، آلبرت انیشتین عمدتاً به دلیل نظریه نسبیت عام خود، به یک چهره مشهور بین‌المللی تبدیل شده بود. در همین حال، انقلاب کوانتومی که او آغاز کرده بود، عمدتاً بدون مشارکت خودش، با سرعت به پیشرفت خود ادامه می‌داد. دنیای فیزیک آشفته بود و به همان تعداد که معتقدان به فیزیک کوانتومی جدید وجود داشتند، افراد شکاک نیز بودند. حتی معتقدان نیز مطمئن نبودند که چقدر باید به نظریه‌های جدید اعتماد کرد.
فیزیک کوانتومی چیست و چه چیزی آن را تا این حد انقلابی می‌کند؟ در ابتدایی‌ترین سطح خود، این فیزیک به سادگی ادعا می‌کند که اندازه‌گیری‌هایی که فیزیکدانان انجام می‌دهند، مانند انرژی، بار الکتریکی، و تکانه زاویه‌ای، کوانتیزه هستند، که یعنی آنها به طور نامحدود قابل تقسیم نیستند؛ ما کوچکترین واحد انرژی، بار، ... و غیره داریم.
این جمله به خودی خود ممکن است جالب به نظر برسد اما خیلی انقلابی به نظر نمی‌رسد. پیامدهای انقلابی آن زمانی آشکار می‌شوند که شروع به بررسی جزئیات کنید. کوانتوم‌های منفرد مانند چیزهای دیگری که در دنیای ماکروسکوپی به آن عادت داریم رفتار نمی‌کنند. به عنوان مثال، انیشتین نشان داد که یک فوتون هم می‌تواند ذره و هم موج باشد. چه طور چنین چیزی ممکن است؟ شهود ما که با جهانی که در آن ذرات، ذره، و امواج، موج هستند، در توضیح آن ناتوان است. در این مرحله، ریاضیات تنها راهنمای ما خواهد بود.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
هرچند خلاصه کردن یک قرن ریاضیات در چند جمله، یا حتی در چند صفحه، غیرممکن است، اما می‌توان برخی از روندها را تشخیص داد. ارتباط بین فیزیک و ریاضیات که همیشه نزدیک بوده، در قرن بیستم عمیق‌تر و مرموزتر شد. فیزیکدانان، از جمله انیشتین، معمولاً از این که ابزارهای مورد نیاز آنها از قبل توسط ریاضیدانان توسعه داده شده‌اند، شگفت‌زده می‌شدند. برعکس، ریاضیدانان همچنان به کشف این موضوع ادامه می‌دادند که مسائل و معادلات فیزیک به ریاضیاتی جالب‌تر و عمیق‌تر منجر می‌شود.
مرتبط با روند اول، روند دیگری که در قرن بیستم ادامه پیدا کرد، ظهور هندسه بود. نظریه نسبیت عام انیشتین مستلزم انحنای فضا بود و این امر مستلزم هندسه‌ای نااقلیدسی بود که انحنای آن می‌توانست از نقطه‌ای به نقطه دیگر تغییر کند. در اوایل دهه ۱۸۰۰ میلادی، گاوس، لباچفسکی، و بویایی بذر هندسه‌های نااقلیدسی را کاشته بودند، اما هندسه‌های آنها انحنای ثابتی داشت. برنهارد ریمان امکان تغییر انحنا را فراهم کرد. هندسه ریمانی، یا هندسه دیفرانسیل، در نیمه اول قرن بیستم نسبتاً کند توسعه یافت، اما در نیمه دوم به سرعت گسترش یافت و به حوزه‌ای مرکزی در ریاضیات تبدیل شد.
سومین روندِ مهم و الهام‌بخش در ریاضیات، جهانی شدن فزاینده آن، به ویژه پس از جنگ جهانی دوم بود. بسیاری از موضوعات ریاضیات باستان قبل از رسیدن به اروپای غربی، در آسیا، مصر یا جهان عرب کشف شده بودند. اما تقریباً از سال ۱۵۰۰ تا ۱۹۰۰، ریاضیات عمدتاً یک بازی برای مردان اروپایی بود. ولی حالا با کاهشِ نابرابری فرصت‌ها، کشف‌های بزرگ بعدی (تقریباً) به همان اندازه که از اروپای غربی حاصل می‌شود، می‌توانند از آسیا نیز بیاید.
اگر می‌توانستم برای نشان دادن تمام این روندها یک چهره را انتخاب کنم، آن شخص شیینگ-شن چرن (Shiing-Shen Chern) بود. چرن که در سال ۱۹۱۱ در جیاشینگ چین (نزدیک شانگهای) متولد شد، در دانشگاه نانکای در نزدیکی پکن تحصیل کرد. در آنجا او به حدی خود را نشان داد که بورسیه تحصیلی برای تحصیل در اروپا را دریافت کرد. او به مدت دو سال در فرانکفورت نزد هندسه‌دانی به نام ویلهلم بلاشکه تحصیل کرد، سپس به مدت یک سال به پاریس نقل مکان کرد تا با الی کارتَن (Elie Cartan) کار کند.
در آن زمان، هندسه دیفرانسیل موضوعی
نبود که خیلی مد روز باشد. نگاهی به معادلات میدان انیشتین ممکن است دلیل آن را به
شما نشان دهد. برای توصیف هندسه یک فضای خمیده (یا «منیفولد» manifold)،
باید مجموعه‌ای از مختصات را روی آن ایجاد کنید. وقتی معادلات بر حسب این مختصات
نوشته می‌شوند، با نمادهایی به هم متصل می‌شوند (مانند اندیس‌های 
و 
در معادلات
میدان) که صرفاً به عنوان ابزارهای حسابداری عمل می‌کنند. مایکل اسپیواک (Michael Spivak)، نویسنده‌ی یک کتاب درسی کلاسیک در مورد
هندسه‌ی دیفرانسیل، آن را «بی‌بند و باری اندیس‌ها» می‌نامد.
از قضا، مهمترین و جالب‌ترین کمیت‌ها در هندسه دیفرانسیل دقیقاً آنهایی هستند که به انتخاب مختصات وابسته نیستند. به عبارت دیگر، ما تمام وقت خود را صرف پیگیری چیزی می‌کنیم که در نهایت به آن اهمیتی نمی‌دهیم! به عنوان مثال، در نظریه نسبیت عام انیشتین، استقلال قوانین فیزیکی از دستگاه مختصات یک اصل اساسی بود. با این حال، سال‌ها طول کشید تا انیشتین ریاضیاتِ لازم را بررسی کند و معادلاتی با ناوردایی (invariance) مناسب پیدا کند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
ریاضیدانان از دهه ۱۸۷۰ کم‌کم متوجه شدند که در واقع بی‌نهایت اندازه‌های مختلفی دارد؛ در واقع اندازه یک مجموعه می‌تواند کمی بی‌نهایت، یا خیلی بی‌نهایت باشد. کاوش در انواعِ مختلفِ بی‌نهایت منجر به برخی از عمیق‌ترین و متناقض‌ترین اکتشافات ریاضی قرن بیستم شد.
در بیشتر قرن نوزدهم، ریاضیدانان تمام تلاش خود را کردند تا کل مسئله بی‌نهایت را با ظرافت بررسی کنند. دلیل خوبی برای این کار وجود داشت؛ همانطور که در بخش اول این کتاب دیدیم، حداقل از زمان زنون مفهوم بی‌نهایت ریاضیدانان را گیج کرده بود. در سال ۱۸۳۱، گاوس این اعتراض را در نامهای به هاینریش شوماخر بیان کرد: «من باید به شدت به استفاده شما از بی‌نهایت به عنوان چیزی تمام و کمال، اعتراض کنم، زیرا این امر هرگز در ریاضیات مجاز نیست. بی‌نهایت چیزی جز یک استعاره نیست ...»
با این حال، در اواخر همان قرن، اجماعی شکل گرفت مبنی بر اینکه مجموعه‌ها هستند که بلوک‌های سازنده‌ی اساسی ریاضیات می‌باشند، نه اعداد. و شما نمی‌توانید از این واقعیت که برخی از مجموعه‌ها نامتناهی هستند، چشم‌پوشی کنید. نمونه‌هایی از این مجموعه‌ها، مجموعه اعداد صحیح مثبت، { 1، 2، 3،...}، یا مجموعه اعدادی که تقریب‌های متوالی عدد پی را تشکیل می‌دهند {3.1، 3.14، 3.141، 3.1415 ،... } هستند.
دانشمندان بزرگی مانند انیشتین، اغلب کسانی هستند که مایلند با حقایق ناخوشایندی روبرو شوند که سایر دانشمندان ترجیح می‌دهند از آنها اجتناب کنند. در مورد نظریه مجموعه‌ها، این شخص یک ریاضیدان آلمانی به نام گئورگ کانتور (Georg Cantor) بود که راهی به دنیای عجیبِ بی‌نهایت گشود.
برای درک کانتور، ابتدا به روشی برای تعریف منظورمان از «اندازه» یا کاردینالیتی (cardinality) یک مجموعه نیاز داریم. کانتور برای تعریف معنای کاردینالیتی، ابتدا قانون و رویکرد مقایسه‌ای یا نسبی زیر را پیشنهاد کرد: اگر بتوانیم یک تناظر یک به یک بین دو مجموعه A و B پیدا کنیم، به طوری که هر عنصر از A با یک عنصر منحصر به فرد از B مطابقت داشته باشد، و برعکس، آنگاه دو مجموعه کاردینالیتی یکسانی دارند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
در سال ۱۹۵۴، یکی از اولین دانشمندان بزرگ علوم کامپیوتری آمریکا، به نام جان فون نویمان (John von Neumann) رویایی در سر داشت. نویمان در مراسم رونمایی از بزرگترین کامپیوتر جدید جهان، پیش‌بینی کرد که روزی کامپیوترها پیش‌بینی آب و هوا را برای ۳۰ تا ۶۰ روز آینده ممکن خواهند کرد.
بیش از نیم قرن بعد، قدرت کامپیوترها از رویاهای نیومن فراتر رفت. با این حال، پیش‌بینی آب و هوا توسط کامپیوترها فقط پیشرفت‌های اندکی داشته است. اکنون پیش‌بینی‌های دو-روزه بسیار قابل اعتماد هستند، و پیش‌بینی‌های پنج روزه، به طور قابل توجهی کمتر. و حتی خوش‌بین‌ترین هواشناسان هم دیگر خواب پیش‌بینی طوفان‌های 60 روز بعد، را نمی‌بینند.
مشکل چه بود؟ پاسخ در یک کلمه است، آشوب (chaos).
یک سیستم آشوبناک، سیستمی است که از قوانین قطعی - مانند معادلاتی که نحوه گردش هوا در جو را توصیف می‌کنند - پیروی می‌کند ، اما پس از مدت زمانِ مشخصی، طوری رفتار می‌کند که گویی تصادفی است. از لحاظ نظری، اگر اطلاعات کاملی در مورد یک سیستم آشوبناک داشته باشید، می‌توانید پیش‌بینی‌های کاملی انجام دهید. اما کوچکترین بی‌دقتی یا نقص در داده‌های شما، با گذشت زمان به صورت تصاعدی افزایش می‌یابد و در نهایت پیش‌بینی شما را بی‌فایده می‌کند.
از قضا، تنها ابزاری که بیش از همه دانشمندان را قادر ساخت تا پیامدهای آشوب را درک کنند و از این طریق محدودیتی دائمی بر قدرت محاسبات بگذارند، کامپیوتر بود. کامپیوتر کاری را انجام می‌داد که نویمان هرگز انتظار نداشت. این دستگاه صرفاً به جای پردازش اعداد، به انسان‌ها روش جدیدی برای نگاه کردن به جهان ارائه داد.
طنز دوم این است که کسی که برای اولین بار مفهوم ریاضی آشوب را درک کرد، ریاضیدان نبود. ادوارد لورنز (Edward Lorenz)، هواشناسی بود که معادلات فوق را کشف کرد و عملاً به رویای فون نویمان پایان داد. سه معادله ساده لورنز که یک جو بسیار ایده‌آل را توصیف می‌کنند، در زیر نشان داده شده‌اند. ارزش دارد کمی وقت بگذارید تا بفهمید این معادلات به چه معناست. ابتدا توجه داشته باشید که آنها معادلات دیفرانسیل هستند: آنها نرخ تغییر سه متغیر (x، y و z) را بر حسب مقادیر فعلی آنها بیان می‌کنند. حسابان برای حل چنین معادلاتی ساخته شده است. آنها از نوع معادلاتی هستند که نیوتن و لاپلاس برای توصیف حرکت سیارات، و مهندسان آپولو برای ارسال موشک به ماه، از آنها استفاده می‌کردند.
قرن‌ها دانشمندان فرض می‌کردند که جواب‌های چنین معادلاتی قابل مدیریت و پیش‌بینی هستند.
دوم، توجه داشته باشید که این معادلات غیرخطی هستند. آنها شامل دو جمله (xz در معادله دوم و xy در معادله سوم) هستند که توان اول متغیرها نیستند، بلکه حاصلضرب دو متغیر هستند (که باعث می‌شود آنها به عنوان توان دوم در نظر گرفته شوند). تمام تفاوت‌ها از این نکته کوچک برمی‌آید.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
روی هورن (Roy Horn) - یکی از اعضای گروه دونفره معروف زیگفرید و روی (Siegfried & Roy)- در سال ۲۰۰۳ توسط یکی از ببرهای خودش از ناحیه گردن زخمی شد. روی در این حادثه تقریباً جان باخت و دوران نمایش‌های او به پایان رسید. برای طرفداران او، این یادآوری تکان‌دهنده‌ای بود که ببرهای رام شده، هنوز هم ببر هستند. مهارت فنی محض زیگفرید و روی، تماشاگران را به خودپسندی واداشته بود. همانطور که نیل اشتراوس درنیویورک تایمز نوشت: «خطر هنوز وجود داشت، اما دیگر به عنوان ببر شناخته نمی‌شد.»
در مورد معادله بلک-شولز (Black–Scholes) نیز می‌توان همین را گفت. این معادله که در سال ۱۹۷۳ توسط فیشر بلک و برنده آینده جایزه نوبل، مایرون شولز (با کمک یکی دیگر از برندگان آینده نوبل، به نام رابرت مرتون) منتشر شد، به نظر می‌رسید که ریسک سرمایه‌گذاری را از بین برده است. این معادله منجر به رشد انفجاری در بازار محصولات مالی به نام مشتقات (derivatives) شد، اساساً با این فرض که شرط‌بندی روی برخی دارایی‌های دیگر، مانند سهام و اوراق قرضه[3] تغییر خواهند کرد. مانند مخاطبان لاس وگاسی برنامه زیگفرید و روی، وال استریت، از مهارت فنی نسل جدیدی از معامله‌گران، به نام «کوانت‌ها» (quants)، که معادله بلک - شولز را به کار می‌بردند، مبهوت شده بودند. به نظر می‌رسید خطر - یا همانطور که مهندسان مالی آن را «ریسک» می‌نامند - تحت کنترل قرار گرفته.
اما ببرها هنوز ببر هستند، و بازارهای مالی هم هنوز بازارهای مالی هستند. از زمان موفقیت فیشر و شولز، نه یک بار، بلکه سه بار - در سال‌های ۱۹۸۷، ۱۹۹۸ و ۲۰۰۷ – بازار مانند یک ببر درنده، به افرادی که فکر می‌کردند می‌توانند آن را رام کنند، حمله کرده است. هیچ کس کشته نشد، اما شغل‌هایی نابود شدند و ثروت‌هایی از دست رفت. به ویژه، بحران اعتباری سال‌های ۲۰۰۷ و ۲۰۰۸ منجر به شدیدترین رکود اقتصادی در آمریکا از زمان رکود بزرگ در دهه ۱۹۳۰ شد.
برخی افراد سعی کرده‌اند ریاضیدانان اقتصادی، یا کوانت‌ها، را برای این رویدادها سرزنش کنند. برای مثال، مقاله‌ای در مجله وایرد (Wired) در سال ۲۰۰۹ به «فرمولی که وال استریت را نابود کرد» اشاره داشت. اما قبل از اینکه بتوانیم قضاوت کنیم، ابتدا باید بفهمیم که بلک، شولز، و مرتون چه معادله‌ای را ارائه دادند.
...........................................
محتویات کامل این کتاب در 25 فصل و 250 صفحه منتشر شده، برای ادامه مطالعه این کتاب می‌توانید نسخه کامل PDF آن را تهیه کنید.
[1] - در واقع بابلی‌ها از یک سیستم اعداد مبتنی بر توان‌های ۶۰ به جای توان‌های ۱۰ استفاده می‌کردند. این موضوع مشکل اساسی ابهام را تغییر نمی‌دهد.برای مثال، یک کاتب بابلی قادر به تشخیص 1501 (یعنی 25×60+1 ) از 900001 (یعنی 25×602+1) نخواهد بود. هر دو عدد به صورت 25,1 نوشته می‌شوند.
[2] - ناپلئون علیرغم سایر شکست‌هایش در جنگ، از تحسین‌کنندگان و حامیان علم بود. او حتی یک قضیه فرعی در هندسه اقلیدسی دارد، که به نام خودش قضیه ناپلئون نامیده شده است. مشخص نیست که آیا واقعاً خود ناپلئون آن را اثبات کرده است یا خیر.
[3] - برای راحتی کار، در ادامه این فصل من فقط به سهام اشاره خواهم کرد، اگرچه در واقع گزینه‌های سهام به هیچ وجه رایج‌ترین نوع مشتقات نیستند.
